Решете 6r^2-11r+4

$$6 r ^ { 2 } - 11 r + 4$$

Разлагане на множители

$$\left(2r-1\right)\left(3r-4\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 6r^{2}+ar+br+4. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-11 ab=6\times 4=24$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 24 на продукта.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Решението е двойката, която дава сума -11.

$$a=-8 b=-3$$

Напишете 6r^{2}-11r+4 като \left(6r^{2}-8r\right)+\left(-3r+4\right).

$$\left(6r^{2}-8r\right)+\left(-3r+4\right)$$

Фактор, 2r в първата и -1 във втората група.

$$2r\left(3r-4\right)-\left(3r-4\right)$$

Разложете на множители общия член 3r-4, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$6r^{2}-11r+4=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 6\times 4}}{2\times 6}$$

Повдигане на квадрат на -11.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 6\times 4}}{2\times 6}$$

Умножете -4 по 6.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-24\times 4}}{2\times 6}$$

Умножете -24 по 4.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2\times 6}$$

Съберете 121 с -96.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2\times 6}$$

Получете корен квадратен от 25.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±5}{2\times 6}$$

Противоположното на -11 е 11.

$$r=\frac{11±5}{2\times 6}$$

Умножете 2 по 6.

$$r=\frac{11±5}{12}$$

Сега решете уравнението r=\frac{11±5}{12}, когато ± е плюс. Съберете 11 с 5.

$$r=\frac{16}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{16}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$r=\frac{4}{3}$$

Сега решете уравнението r=\frac{11±5}{12}, когато ± е минус. Извадете 5 от 11.

$$r=\frac{6}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{6}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$r=\frac{1}{2}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{4}{3} и x_{2} с \frac{1}{2}.

$$6r^{2}-11r+4=6\left(r-\frac{4}{3}\right)\left(r-\frac{1}{2}\right)$$

Извадете \frac{4}{3} от r, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{3r-4}{3}\left(r-\frac{1}{2}\right)$$

Извадете \frac{1}{2} от r, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{3r-4}{3}\times \frac{2r-1}{2}$$

Умножете \frac{3r-4}{3} по \frac{2r-1}{2}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)}{3\times 2}$$

Умножете 3 по 2.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)}{6}$$

Съкратете най-големия общ множител 6 в 6 и 6.

$$6r^{2}-11r+4=\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)$$

Изчисляване

$$\left(2r-1\right)\left(3r-4\right)$$