Решете 6r^2+53r-70

$$6 r ^ { 2 } + 53 r - 70$$

Разлагане на множители

$$\left(6r-7\right)\left(r+10\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 6r^{2}+ar+br-70. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=53 ab=6\left(-70\right)=-420$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -420 на продукта.

$$-1,420 -2,210 -3,140 -4,105 -5,84 -6,70 -7,60 -10,42 -12,35 -14,30 -15,28 -20,21$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+420=419 -2+210=208 -3+140=137 -4+105=101 -5+84=79 -6+70=64 -7+60=53 -10+42=32 -12+35=23 -14+30=16 -15+28=13 -20+21=1$$

Решението е двойката, която дава сума 53.

$$a=-7 b=60$$

Напишете 6r^{2}+53r-70 като \left(6r^{2}-7r\right)+\left(60r-70\right).

$$\left(6r^{2}-7r\right)+\left(60r-70\right)$$

Фактор, r в първата и 10 във втората група.

$$r\left(6r-7\right)+10\left(6r-7\right)$$

Разложете на множители общия член 6r-7, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(6r-7\right)\left(r+10\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$6r^{2}+53r-70=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$r=\frac{-53±\sqrt{53^{2}-4\times 6\left(-70\right)}}{2\times 6}$$

Повдигане на квадрат на 53.

$$r=\frac{-53±\sqrt{2809-4\times 6\left(-70\right)}}{2\times 6}$$

Умножете -4 по 6.

$$r=\frac{-53±\sqrt{2809-24\left(-70\right)}}{2\times 6}$$

Умножете -24 по -70.

$$r=\frac{-53±\sqrt{2809+1680}}{2\times 6}$$

Съберете 2809 с 1680.

$$r=\frac{-53±\sqrt{4489}}{2\times 6}$$

Получете корен квадратен от 4489.

$$r=\frac{-53±67}{2\times 6}$$

Умножете 2 по 6.

$$r=\frac{-53±67}{12}$$

Сега решете уравнението r=\frac{-53±67}{12}, когато ± е плюс. Съберете -53 с 67.

$$r=\frac{14}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{14}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$r=\frac{7}{6}$$

Сега решете уравнението r=\frac{-53±67}{12}, когато ± е минус. Извадете 67 от -53.

$$r=-\frac{120}{12}$$

Разделете -120 на 12.

$$r=-10$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{7}{6} и x_{2} с -10.

$$6r^{2}+53r-70=6\left(r-\frac{7}{6}\right)\left(r-\left(-10\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$6r^{2}+53r-70=6\left(r-\frac{7}{6}\right)\left(r+10\right)$$

Извадете \frac{7}{6} от r, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$6r^{2}+53r-70=6\times \frac{6r-7}{6}\left(r+10\right)$$

Съкратете най-големия общ множител 6 в 6 и 6.

$$6r^{2}+53r-70=\left(6r-7\right)\left(r+10\right)$$

Изчисляване

$$\left(6r-7\right)\left(r+10\right)$$