Решете 6r^2+29r-42

$$6 r ^ { 2 } + 29 r - 42$$

Разлагане на множители

$$\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 6r^{2}+ar+br-42. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=29 ab=6\left(-42\right)=-252$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -252 на продукта.

$$-1,252 -2,126 -3,84 -4,63 -6,42 -7,36 -9,28 -12,21 -14,18$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+252=251 -2+126=124 -3+84=81 -4+63=59 -6+42=36 -7+36=29 -9+28=19 -12+21=9 -14+18=4$$

Решението е двойката, която дава сума 29.

$$a=-7 b=36$$

Напишете 6r^{2}+29r-42 като \left(6r^{2}-7r\right)+\left(36r-42\right).

$$\left(6r^{2}-7r\right)+\left(36r-42\right)$$

Фактор, r в първата и 6 във втората група.

$$r\left(6r-7\right)+6\left(6r-7\right)$$

Разложете на множители общия член 6r-7, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$6r^{2}+29r-42=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$r=\frac{-29±\sqrt{29^{2}-4\times 6\left(-42\right)}}{2\times 6}$$

Повдигане на квадрат на 29.

$$r=\frac{-29±\sqrt{841-4\times 6\left(-42\right)}}{2\times 6}$$

Умножете -4 по 6.

$$r=\frac{-29±\sqrt{841-24\left(-42\right)}}{2\times 6}$$

Умножете -24 по -42.

$$r=\frac{-29±\sqrt{841+1008}}{2\times 6}$$

Съберете 841 с 1008.

$$r=\frac{-29±\sqrt{1849}}{2\times 6}$$

Получете корен квадратен от 1849.

$$r=\frac{-29±43}{2\times 6}$$

Умножете 2 по 6.

$$r=\frac{-29±43}{12}$$

Сега решете уравнението r=\frac{-29±43}{12}, когато ± е плюс. Съберете -29 с 43.

$$r=\frac{14}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{14}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$r=\frac{7}{6}$$

Сега решете уравнението r=\frac{-29±43}{12}, когато ± е минус. Извадете 43 от -29.

$$r=-\frac{72}{12}$$

Разделете -72 на 12.

$$r=-6$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{7}{6} и x_{2} с -6.

$$6r^{2}+29r-42=6\left(r-\frac{7}{6}\right)\left(r-\left(-6\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$6r^{2}+29r-42=6\left(r-\frac{7}{6}\right)\left(r+6\right)$$

Извадете \frac{7}{6} от r, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$6r^{2}+29r-42=6\times \frac{6r-7}{6}\left(r+6\right)$$

Съкратете най-големия общ множител 6 в 6 и 6.

$$6r^{2}+29r-42=\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$

Изчисляване

$$\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$