Решете 54(1+x)(1+x)=1215

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

Решаване за x

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3,74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5,74341649$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Умножете 1+x по 1+x, за да получите \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 54 по 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Извадете 1215 и от двете страни.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

Извадете 1215 от 54, за да получите -1161.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 54 вместо a, 108 вместо b и -1161 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Повдигане на квадрат на 108.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Умножете -4 по 54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Умножете -216 по -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

Съберете 11664 с 250776.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

Получете корен квадратен от 262440.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

Умножете 2 по 54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}, когато ± е плюс. Съберете -108 с 162\sqrt{10}.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

Разделете -108+162\sqrt{10} на 108.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Сега решете уравнението x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}, когато ± е минус. Извадете 162\sqrt{10} от -108.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

Разделете -108-162\sqrt{10} на 108.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Умножете 1+x по 1+x, за да получите \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 54 по 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Извадете 54 и от двете страни.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

Извадете 54 от 1215, за да получите 1161.

$$108x+54x^{2}=1161$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}+108x=1161$$

Разделете двете страни на 54.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

Делението на 54 отменя умножението по 54.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

Разделете 108 на 54.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

Намаляване на дробта \frac{1161}{54} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 27.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

Разделете 2 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите 1. След това съберете квадрата на 1 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

Повдигане на квадрат на 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

Съберете \frac{43}{2} с 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

Разложете на множител x^{2}+2x+1. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

Опростявайте.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

Извадете 1 и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$