Решете 52z^2-43z+3

$$52 z ^ { 2 } - 43 z + 3$$

Разлагане на множители

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 52z^{2}+az+bz+3. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-43 ab=52\times 3=156$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 156 на продукта.

$$-1,-156 -2,-78 -3,-52 -4,-39 -6,-26 -12,-13$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-156=-157 -2-78=-80 -3-52=-55 -4-39=-43 -6-26=-32 -12-13=-25$$

Решението е двойката, която дава сума -43.

$$a=-39 b=-4$$

Напишете 52z^{2}-43z+3 като \left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right).

$$\left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right)$$

Фактор, 13z в първата и -1 във втората група.

$$13z\left(4z-3\right)-\left(4z-3\right)$$

Разложете на множители общия член 4z-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$52z^{2}-43z+3=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Повдигане на квадрат на -43.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Умножете -4 по 52.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-208\times 3}}{2\times 52}$$

Умножете -208 по 3.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-624}}{2\times 52}$$

Съберете 1849 с -624.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1225}}{2\times 52}$$

Получете корен квадратен от 1225.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±35}{2\times 52}$$

Противоположното на -43 е 43.

$$z=\frac{43±35}{2\times 52}$$

Умножете 2 по 52.

$$z=\frac{43±35}{104}$$

Сега решете уравнението z=\frac{43±35}{104}, когато ± е плюс. Съберете 43 с 35.

$$z=\frac{78}{104}$$

Намаляване на дробта \frac{78}{104} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 26.

$$z=\frac{3}{4}$$

Сега решете уравнението z=\frac{43±35}{104}, когато ± е минус. Извадете 35 от 43.

$$z=\frac{8}{104}$$

Намаляване на дробта \frac{8}{104} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$z=\frac{1}{13}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{3}{4} и x_{2} с \frac{1}{13}.

$$52z^{2}-43z+3=52\left(z-\frac{3}{4}\right)\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Извадете \frac{3}{4} от z, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Извадете \frac{1}{13} от z, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\times \frac{13z-1}{13}$$

Умножете \frac{4z-3}{4} по \frac{13z-1}{13}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{4\times 13}$$

Умножете 4 по 13.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{52}$$

Съкратете най-големия общ множител 52 в 52 и 52.

$$52z^{2}-43z+3=\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Изчисляване

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$