Решете 5y+9y^2-4y^2+6(5y+9)y=-12

$$5 y + 9 y ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } + 6 ( 5 y + 9 ) y = - 12$$

Решаване за y

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70}\approx -0,236597281$$

$$y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}\approx -1,449117005$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Групирайте 9y^{2} и -4y^{2}, за да получите 5y^{2}.

$$5y+5y^{2}+6\left(5y+9\right)y=-12$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 6 по 5y+9.

$$5y+5y^{2}+\left(30y+54\right)y=-12$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 30y+54 по y.

$$5y+5y^{2}+30y^{2}+54y=-12$$

Групирайте 5y^{2} и 30y^{2}, за да получите 35y^{2}.

$$5y+35y^{2}+54y=-12$$

Групирайте 5y и 54y, за да получите 59y.

$$59y+35y^{2}=-12$$

Добавете 12 от двете страни.

$$59y+35y^{2}+12=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$35y^{2}+59y+12=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 35 вместо a, 59 вместо b и 12 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\times 35\times 12}}{2\times 35}$$

Повдигане на квадрат на 59.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-4\times 35\times 12}}{2\times 35}$$

Умножете -4 по 35.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-140\times 12}}{2\times 35}$$

Умножете -140 по 12.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-1680}}{2\times 35}$$

Съберете 3481 с -1680.

$$y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{2\times 35}$$

Умножете 2 по 35.

$$y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70}$$

Сега решете уравнението y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70}, когато ± е плюс. Съберете -59 с \sqrt{1801}.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70}$$

Сега решете уравнението y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70}, когато ± е минус. Извадете \sqrt{1801} от -59.

$$y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$

Уравнението сега е решено.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70} y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Групирайте 9y^{2} и -4y^{2}, за да получите 5y^{2}.

$$5y+5y^{2}+6\left(5y+9\right)y=-12$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 6 по 5y+9.

$$5y+5y^{2}+\left(30y+54\right)y=-12$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 30y+54 по y.

$$5y+5y^{2}+30y^{2}+54y=-12$$

Групирайте 5y^{2} и 30y^{2}, за да получите 35y^{2}.

$$5y+35y^{2}+54y=-12$$

Групирайте 5y и 54y, за да получите 59y.

$$59y+35y^{2}=-12$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$35y^{2}+59y=-12$$

Разделете двете страни на 35.

$$\frac{35y^{2}+59y}{35}=-\frac{12}{35}$$

Делението на 35 отменя умножението по 35.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y=-\frac{12}{35}$$

Разделете \frac{59}{35} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{59}{70}. След това съберете квадрата на \frac{59}{70} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\left(\frac{59}{70}\right)^{2}=-\frac{12}{35}+\left(\frac{59}{70}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{59}{70}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}=-\frac{12}{35}+\frac{3481}{4900}$$

Съберете -\frac{12}{35} и \frac{3481}{4900}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}=\frac{1801}{4900}$$

Разложете на множител y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{59}{70}\right)^{2}=\frac{1801}{4900}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(y+\frac{59}{70}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1801}{4900}}$$

Опростявайте.

$$y+\frac{59}{70}=\frac{\sqrt{1801}}{70} y+\frac{59}{70}=-\frac{\sqrt{1801}}{70}$$

Извадете \frac{59}{70} и от двете страни на уравнението.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70} y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$