Решете 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Решаване за x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$5x-2y=1$$

Съберете 2y към двете страни на уравнението.

$$5x=2y+1$$

Разделете двете страни на 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Умножете \frac{1}{5} по 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Заместете \frac{2y+1}{5} вместо x в другото уравнение, 3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Умножете 3 по \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Съберете \frac{6y}{5} с 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Извадете \frac{3}{5} и от двете страни на уравнението.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Разделете двете страни на уравнението на \frac{31}{5}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$y=2$$

Заместете 2 вместо y в x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Умножете \frac{2}{5} по 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Съберете \frac{1}{5} и \frac{4}{5}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x=1$$

Системата сега е решена.

$$x=1,y=2$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=1,y=2$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

За да направите 5x и 3x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 3, а всички членове от двете страни на второто по 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Опростявайте.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Извадете 15x+25y=65 от 15x-6y=3, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Съберете 15x с -15x. Условията 15x и -15x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-6y-25y=3-65$$

Съберете -6y с -25y.

$$-31y=3-65$$

Съберете 3 с -65.

$$-31y=-62$$

Разделете двете страни на -31.

$$y=2$$

Заместете 2 вместо y в 3x+5y=13. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$3x+5\times 2=13$$

Умножете 5 по 2.

$$3x+10=13$$

Извадете 10 и от двете страни на уравнението.

$$3x=3$$

Разделете двете страни на 3.

$$x=1$$

Системата сега е решена.

$$x=1,y=2$$