Решете 5x-2(x-1)(3-x)=11

$$5 x - 2 ( x - 1 ) ( 3 - x ) = 11$$

Решаване за x

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Извадете 11 и от двете страни.

$$5x-2\left(x-1\right)\left(3-x\right)-11=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -2 по x-1.

$$5x+\left(-2x+2\right)\left(3-x\right)-11=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -2x+2 по 3-x и да групирате подобните членове.

$$5x-8x+2x^{2}+6-11=0$$

Групирайте 5x и -8x, за да получите -3x.

$$-3x+2x^{2}+6-11=0$$

Извадете 11 от 6, за да получите -5.

$$-3x+2x^{2}-5=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 2 вместо a, -3 вместо b и -5 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Повдигане на квадрат на -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -4 по 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -8 по -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

Съберете 9 с 40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Получете корен квадратен от 49.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 2}$$

Противоположното на -3 е 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$x=\frac{3±7}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{3±7}{4}, когато ± е плюс. Съберете 3 с 7.

$$x=\frac{10}{4}$$

Намаляване на дробта \frac{10}{4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{3±7}{4}, когато ± е минус. Извадете 7 от 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Разделете -4 на 4.

$$x=-1$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Умножете -1 по 2, за да получите -2.

$$5x-2\left(x-1\right)\left(3-x\right)=11$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -2 по x-1.

$$5x+\left(-2x+2\right)\left(3-x\right)=11$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -2x+2 по 3-x и да групирате подобните членове.

$$5x-8x+2x^{2}+6=11$$

Групирайте 5x и -8x, за да получите -3x.

$$-3x+2x^{2}+6=11$$

Извадете 6 и от двете страни.

$$-3x+2x^{2}=11-6$$

Извадете 6 от 11, за да получите 5.

$$-3x+2x^{2}=5$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x=5$$

Разделете двете страни на 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{5}{2}$$

Делението на 2 отменя умножението по 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Разделете -\frac{3}{2} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{3}{4}. След това съберете квадрата на -\frac{3}{4} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{3}{4}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Съберете \frac{5}{2} и \frac{9}{16}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{16}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

Съберете \frac{3}{4} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$