Решете 5x^2-40x+85=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x + 85 = 0$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=4+i$$

$$x=4-i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 5 вместо a, -40 вместо b и 85 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Повдигане на квадрат на -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Умножете -4 по 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 85}}{2\times 5}$$

Умножете -20 по 85.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1700}}{2\times 5}$$

Съберете 1600 с -1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

Получете корен квадратен от -100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10i}{2\times 5}$$

Противоположното на -40 е 40.

$$x=\frac{40±10i}{2\times 5}$$

Умножете 2 по 5.

$$x=\frac{40±10i}{10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{40±10i}{10}, когато ± е плюс. Съберете 40 с 10i.

$$x=\frac{40+10i}{10}$$

Разделете 40+10i на 10.

$$x=4+i$$

Сега решете уравнението x=\frac{40±10i}{10}, когато ± е минус. Извадете 10i от 40.

$$x=\frac{40-10i}{10}$$

Разделете 40-10i на 10.

$$x=4-i$$

Уравнението сега е решено.

$$x=4+i x=4-i$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Извадете 85 и от двете страни на уравнението.

$$5x^{2}-40x+85-85=-85$$

Изваждане на 85 от самото него дава 0.

$$5x^{2}-40x=-85$$

Разделете двете страни на 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{85}{5}$$

Делението на 5 отменя умножението по 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{85}{5}$$

Разделете -40 на 5.

$$x^{2}-8x=-\frac{85}{5}$$

Разделете -85 на 5.

$$x^{2}-8x=-17$$

Разделете -8 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -4. След това съберете квадрата на -4 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-17+\left(-4\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -4.

$$x^{2}-8x+16=-17+16$$

Съберете -17 с 16.

$$x^{2}-8x+16=-1$$

Разложете на множител x^{2}-8x+16. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-1$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Опростявайте.

$$x-4=i x-4=-i$$

Съберете 4 към двете страни на уравнението.

$$x=4+i x=4-i$$