Решете 5x^2-20x+12=x^2+7x-6

$$5 x ^ { 2 } - 20 x + 12 = x ^ { 2 } + 7 x - 6$$

Решаване за x

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

$$x=6$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$5x^{2}-20x+12-x^{2}=7x-6$$

Групирайте 5x^{2} и -x^{2}, за да получите 4x^{2}.

$$4x^{2}-20x+12=7x-6$$

Извадете 7x и от двете страни.

$$4x^{2}-20x+12-7x=-6$$

Групирайте -20x и -7x, за да получите -27x.

$$4x^{2}-27x+12=-6$$

Добавете 6 от двете страни.

$$4x^{2}-27x+12+6=0$$

Съберете 12 и 6, за да се получи 18.

$$4x^{2}-27x+18=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 4x^{2}+ax+bx+18. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-27 ab=4\times 18=72$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 72 на продукта.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

Решението е двойката, която дава сума -27.

$$a=-24 b=-3$$

Напишете 4x^{2}-27x+18 като \left(4x^{2}-24x\right)+\left(-3x+18\right).

$$\left(4x^{2}-24x\right)+\left(-3x+18\right)$$

Фактор, 4x в първата и -3 във втората група.

$$4x\left(x-6\right)-3\left(x-6\right)$$

Разложете на множители общия член x-6, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-6\right)\left(4x-3\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-6=0 и 4x-3=0.

$$x=6 x=\frac{3}{4}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$5x^{2}-20x+12-x^{2}=7x-6$$

Групирайте 5x^{2} и -x^{2}, за да получите 4x^{2}.

$$4x^{2}-20x+12=7x-6$$

Извадете 7x и от двете страни.

$$4x^{2}-20x+12-7x=-6$$

Групирайте -20x и -7x, за да получите -27x.

$$4x^{2}-27x+12=-6$$

Добавете 6 от двете страни.

$$4x^{2}-27x+12+6=0$$

Съберете 12 и 6, за да се получи 18.

$$4x^{2}-27x+18=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 4 вместо a, -27 вместо b и 18 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 4\times 18}}{2\times 4}$$

Повдигане на квадрат на -27.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 4\times 18}}{2\times 4}$$

Умножете -4 по 4.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-16\times 18}}{2\times 4}$$

Умножете -16 по 18.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-288}}{2\times 4}$$

Съберете 729 с -288.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

Получете корен квадратен от 441.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±21}{2\times 4}$$

Противоположното на -27 е 27.

$$x=\frac{27±21}{2\times 4}$$

Умножете 2 по 4.

$$x=\frac{27±21}{8}$$

Сега решете уравнението x=\frac{27±21}{8}, когато ± е плюс. Съберете 27 с 21.

$$x=\frac{48}{8}$$

Разделете 48 на 8.

$$x=6$$

Сега решете уравнението x=\frac{27±21}{8}, когато ± е минус. Извадете 21 от 27.

$$x=\frac{6}{8}$$

Намаляване на дробта \frac{6}{8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{3}{4}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=6 x=\frac{3}{4}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$5x^{2}-20x+12-x^{2}=7x-6$$

Групирайте 5x^{2} и -x^{2}, за да получите 4x^{2}.

$$4x^{2}-20x+12=7x-6$$

Извадете 7x и от двете страни.

$$4x^{2}-20x+12-7x=-6$$

Групирайте -20x и -7x, за да получите -27x.

$$4x^{2}-27x+12=-6$$

Извадете 12 и от двете страни.

$$4x^{2}-27x=-6-12$$

Извадете 12 от -6, за да получите -18.

$$4x^{2}-27x=-18$$

Разделете двете страни на 4.

$$\frac{4x^{2}-27x}{4}=-\frac{18}{4}$$

Делението на 4 отменя умножението по 4.

$$x^{2}-\frac{27}{4}x=-\frac{18}{4}$$

Намаляване на дробта \frac{-18}{4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}-\frac{27}{4}x=-\frac{9}{2}$$

Разделете -\frac{27}{4} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{27}{8}. След това съберете квадрата на -\frac{27}{8} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{27}{4}x+\left(-\frac{27}{8}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(-\frac{27}{8}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{27}{8}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{27}{4}x+\frac{729}{64}=-\frac{9}{2}+\frac{729}{64}$$

Съберете -\frac{9}{2} и \frac{729}{64}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{27}{4}x+\frac{729}{64}=\frac{441}{64}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{27}{4}x+\frac{729}{64}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{27}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{27}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{27}{8}=\frac{21}{8} x-\frac{27}{8}=-\frac{21}{8}$$

Съберете \frac{27}{8} към двете страни на уравнението.

$$x=6 x=\frac{3}{4}$$