Решете 5x^2+21x=-10x-6

$$5 x ^ { 2 } + 21 x = - 10 x - 6$$

Решаване за x

$$x=-6$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Добавете 10x от двете страни.

$$5x^{2}+21x+10x=-6$$

Групирайте 21x и 10x, за да получите 31x.

$$5x^{2}+31x=-6$$

Добавете 6 от двете страни.

$$5x^{2}+31x+6=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 5x^{2}+ax+bx+6. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=31 ab=5\times 6=30$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 30 на продукта.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Решението е двойката, която дава сума 31.

$$a=1 b=30$$

Напишете 5x^{2}+31x+6 като \left(5x^{2}+x\right)+\left(30x+6\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(30x+6\right)$$

Фактор, x в първата и 6 във втората група.

$$x\left(5x+1\right)+6\left(5x+1\right)$$

Разложете на множители общия член 5x+1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(5x+1\right)\left(x+6\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 5x+1=0 и x+6=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-6$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Добавете 10x от двете страни.

$$5x^{2}+21x+10x=-6$$

Групирайте 21x и 10x, за да получите 31x.

$$5x^{2}+31x=-6$$

Добавете 6 от двете страни.

$$5x^{2}+31x+6=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 5 вместо a, 31 вместо b и 6 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Повдигане на квадрат на 31.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Умножете -4 по 5.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-20\times 6}}{2\times 5}$$

Умножете -20 по 6.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-120}}{2\times 5}$$

Съберете 961 с -120.

$$x=\frac{-31±\sqrt{841}}{2\times 5}$$

Получете корен квадратен от 841.

$$x=\frac{-31±29}{2\times 5}$$

Умножете 2 по 5.

$$x=\frac{-31±29}{10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-31±29}{10}, когато ± е плюс. Съберете -31 с 29.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Намаляване на дробта \frac{-2}{10} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-31±29}{10}, когато ± е минус. Извадете 29 от -31.

$$x=-\frac{60}{10}$$

Разделете -60 на 10.

$$x=-6$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-\frac{1}{5} x=-6$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Добавете 10x от двете страни.

$$5x^{2}+21x+10x=-6$$

Групирайте 21x и 10x, за да получите 31x.

$$5x^{2}+31x=-6$$

Разделете двете страни на 5.

$$\frac{5x^{2}+31x}{5}=-\frac{6}{5}$$

Делението на 5 отменя умножението по 5.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x=-\frac{6}{5}$$

Разделете \frac{31}{5} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{31}{10}. След това съберете квадрата на \frac{31}{10} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x+\left(\frac{31}{10}\right)^{2}=-\frac{6}{5}+\left(\frac{31}{10}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{31}{10}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x+\frac{961}{100}=-\frac{6}{5}+\frac{961}{100}$$

Съберете -\frac{6}{5} и \frac{961}{100}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x+\frac{961}{100}=\frac{841}{100}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{31}{5}x+\frac{961}{100}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{31}{10}\right)^{2}=\frac{841}{100}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{100}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{31}{10}=\frac{29}{10} x+\frac{31}{10}=-\frac{29}{10}$$

Извадете \frac{31}{10} и от двете страни на уравнението.

$$x=-\frac{1}{5} x=-6$$