Решете 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Решаване за x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 5x^{2}+ax+bx-2184. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -10920 на продукта.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Решението е двойката, която дава сума -1.

$$a=-105 b=104$$

Напишете 5x^{2}-x-2184 като \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Фактор, 5x в първата и 104 във втората група.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Разложете на множители общия член x-21, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-21=0 и 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 5 вместо a, -1 вместо b и -2184 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Умножете -4 по 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Умножете -20 по -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Съберете 1 с 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Получете корен квадратен от 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Противоположното на -1 е 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Умножете 2 по 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{1±209}{10}, когато ± е плюс. Съберете 1 с 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Разделете 210 на 10.

$$x=21$$

Сега решете уравнението x=\frac{1±209}{10}, когато ± е минус. Извадете 209 от 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Намаляване на дробта \frac{-208}{10} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Съберете 2184 към двете страни на уравнението.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Изваждане на -2184 от самото него дава 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Извадете -2184 от 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Разделете двете страни на 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Делението на 5 отменя умножението по 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Разделете -\frac{1}{5} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{1}{10}. След това съберете квадрата на -\frac{1}{10} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{1}{10}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Съберете \frac{2184}{5} и \frac{1}{100}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Съберете \frac{1}{10} към двете страни на уравнението.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$