Решете 5x^2-41x+42

$$5 { x }^{ 2 } -41x+42$$

Разлагане на множители

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 5x^{2}+ax+bx+42. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-41 ab=5\times 42=210$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 210 на продукта.

$$-1,-210 -2,-105 -3,-70 -5,-42 -6,-35 -7,-30 -10,-21 -14,-15$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-210=-211 -2-105=-107 -3-70=-73 -5-42=-47 -6-35=-41 -7-30=-37 -10-21=-31 -14-15=-29$$

Решението е двойката, която дава сума -41.

$$a=-35 b=-6$$

Напишете 5x^{2}-41x+42 като \left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Фактор, 5x в първата и -6 във втората група.

$$5x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Разложете на множители общия член x-7, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}-41x+42=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

Повдигане на квадрат на -41.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

Умножете -4 по 5.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-20\times 42}}{2\times 5}$$

Умножете -20 по 42.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-840}}{2\times 5}$$

Съберете 1681 с -840.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{841}}{2\times 5}$$

Получете корен квадратен от 841.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±29}{2\times 5}$$

Противоположното на -41 е 41.

$$x=\frac{41±29}{2\times 5}$$

Умножете 2 по 5.

$$x=\frac{41±29}{10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{41±29}{10}, когато ± е плюс. Съберете 41 с 29.

$$x=\frac{70}{10}$$

Разделете 70 на 10.

$$x=7$$

Сега решете уравнението x=\frac{41±29}{10}, когато ± е минус. Извадете 29 от 41.

$$x=\frac{12}{10}$$

Намаляване на дробта \frac{12}{10} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{6}{5}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с 7 и x_{2} с \frac{6}{5}.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\left(x-\frac{6}{5}\right)$$

Извадете \frac{6}{5} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\times \frac{5x-6}{5}$$

Съкратете най-големия общ множител 5 в 5 и 5.

$$5x^{2}-41x+42=\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Изчисляване

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$