Решете 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Решаване за x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 5x^{2}+ax+bx-42. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -210 на продукта.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Решението е двойката, която дава сума -29.

$$a=-35 b=6$$

Напишете 5x^{2}-29x-42 като \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Фактор, 5x в първата и 6 във втората група.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Разложете на множители общия член x-7, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-7=0 и 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 5 вместо a, -29 вместо b и -42 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Повдигане на квадрат на -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Умножете -4 по 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Умножете -20 по -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Съберете 841 с 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Получете корен квадратен от 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Противоположното на -29 е 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Умножете 2 по 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{29±41}{10}, когато ± е плюс. Съберете 29 с 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Разделете 70 на 10.

$$x=7$$

Сега решете уравнението x=\frac{29±41}{10}, когато ± е минус. Извадете 41 от 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Намаляване на дробта \frac{-12}{10} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Съберете 42 към двете страни на уравнението.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Изваждане на -42 от самото него дава 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Извадете -42 от 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Разделете двете страни на 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Делението на 5 отменя умножението по 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Разделете -\frac{29}{5} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{29}{10}. След това съберете квадрата на -\frac{29}{10} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{29}{10}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Съберете \frac{42}{5} и \frac{841}{100}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Съберете \frac{29}{10} към двете страни на уравнението.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$