Решете 5x^2+23x+12

$$5 { x }^{ 2 } +23x+12$$

Разлагане на множители

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 5x^{2}+ax+bx+12. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=23 ab=5\times 12=60$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 60 на продукта.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Решението е двойката, която дава сума 23.

$$a=3 b=20$$

Напишете 5x^{2}+23x+12 като \left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right).

$$\left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right)$$

Фактор, x в първата и 4 във втората група.

$$x\left(5x+3\right)+4\left(5x+3\right)$$

Разложете на множители общия член 5x+3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}+23x+12=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Повдигане на квадрат на 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Умножете -4 по 5.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-20\times 12}}{2\times 5}$$

Умножете -20 по 12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-240}}{2\times 5}$$

Съберете 529 с -240.

$$x=\frac{-23±\sqrt{289}}{2\times 5}$$

Получете корен квадратен от 289.

$$x=\frac{-23±17}{2\times 5}$$

Умножете 2 по 5.

$$x=\frac{-23±17}{10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-23±17}{10}, когато ± е плюс. Съберете -23 с 17.

$$x=-\frac{6}{10}$$

Намаляване на дробта \frac{-6}{10} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-23±17}{10}, когато ± е минус. Извадете 17 от -23.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Разделете -40 на 10.

$$x=-4$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с -\frac{3}{5} и x_{2} с -4.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)\left(x-\left(-4\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x+\frac{3}{5}\right)\left(x+4\right)$$

Съберете \frac{3}{5} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$5x^{2}+23x+12=5\times \frac{5x+3}{5}\left(x+4\right)$$

Съкратете най-големия общ множител 5 в 5 и 5.

$$5x^{2}+23x+12=\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

Изчисляване

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$