Решете 5x^2=11x-2

$$5 { x }^{ 2 } = 11x-2$$

Решаване за x

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

$$x=2$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Извадете 11x и от двете страни.

$$5x^{2}-11x=-2$$

Добавете 2 от двете страни.

$$5x^{2}-11x+2=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 5x^{2}+ax+bx+2. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-11 ab=5\times 2=10$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 10 на продукта.

$$-1,-10 -2,-5$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Решението е двойката, която дава сума -11.

$$a=-10 b=-1$$

Напишете 5x^{2}-11x+2 като \left(5x^{2}-10x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(-x+2\right)$$

Фактор, 5x в първата и -1 във втората група.

$$5x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Разложете на множители общия член x-2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-2\right)\left(5x-1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-2=0 и 5x-1=0.

$$x=2 x=\frac{1}{5}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Извадете 11x и от двете страни.

$$5x^{2}-11x=-2$$

Добавете 2 от двете страни.

$$5x^{2}-11x+2=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 5 вместо a, -11 вместо b и 2 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 5\times 2}}{2\times 5}$$

Повдигане на квадрат на -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 5\times 2}}{2\times 5}$$

Умножете -4 по 5.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-20\times 2}}{2\times 5}$$

Умножете -20 по 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-40}}{2\times 5}$$

Съберете 121 с -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{81}}{2\times 5}$$

Получете корен квадратен от 81.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±9}{2\times 5}$$

Противоположното на -11 е 11.

$$x=\frac{11±9}{2\times 5}$$

Умножете 2 по 5.

$$x=\frac{11±9}{10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{11±9}{10}, когато ± е плюс. Съберете 11 с 9.

$$x=\frac{20}{10}$$

Разделете 20 на 10.

$$x=2$$

Сега решете уравнението x=\frac{11±9}{10}, когато ± е минус. Извадете 9 от 11.

$$x=\frac{2}{10}$$

Намаляване на дробта \frac{2}{10} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{1}{5}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=2 x=\frac{1}{5}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Извадете 11x и от двете страни.

$$5x^{2}-11x=-2$$

Разделете двете страни на 5.

$$\frac{5x^{2}-11x}{5}=-\frac{2}{5}$$

Делението на 5 отменя умножението по 5.

$$x^{2}-\frac{11}{5}x=-\frac{2}{5}$$

Разделете -\frac{11}{5} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{11}{10}. След това съберете квадрата на -\frac{11}{10} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{11}{5}x+\left(-\frac{11}{10}\right)^{2}=-\frac{2}{5}+\left(-\frac{11}{10}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{11}{10}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{11}{5}x+\frac{121}{100}=-\frac{2}{5}+\frac{121}{100}$$

Съберете -\frac{2}{5} и \frac{121}{100}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{11}{5}x+\frac{121}{100}=\frac{81}{100}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{11}{5}x+\frac{121}{100}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{10}\right)^{2}=\frac{81}{100}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{100}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{11}{10}=\frac{9}{10} x-\frac{11}{10}=-\frac{9}{10}$$

Съберете \frac{11}{10} към двете страни на уравнението.

$$x=2 x=\frac{1}{5}$$