Решете 49x^2-42x+9

$$49 x ^ { 2 } - 42 x + 9$$

Разлагане на множители

$$\left(7x-3\right)^{2}$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 49x^{2}+ax+bx+9. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-42 ab=49\times 9=441$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 441 на продукта.

$$-1,-441 -3,-147 -7,-63 -9,-49 -21,-21$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-441=-442 -3-147=-150 -7-63=-70 -9-49=-58 -21-21=-42$$

Решението е двойката, която дава сума -42.

$$a=-21 b=-21$$

Напишете 49x^{2}-42x+9 като \left(49x^{2}-21x\right)+\left(-21x+9\right).

$$\left(49x^{2}-21x\right)+\left(-21x+9\right)$$

Фактор, 7x в първата и -3 във втората група.

$$7x\left(7x-3\right)-3\left(7x-3\right)$$

Разложете на множители общия член 7x-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)$$

Преобразуване като биномен квадрат.

$$\left(7x-3\right)^{2}$$

Стъпки с квадрат на двучлен

Този тричлен има формата на тричленен квадрат, може би умножена с общ множител. Тричленните квадрати могат да се разложат чрез намиране на квадратните корени на първия и последния член.

$$factor(49x^{2}-42x+9)$$

Намерете най-големия общ множител на коефициентите.

$$gcf(49,-42,9)=1$$

Намерете корен квадратен от първия член, 49x^{2}.

$$\sqrt{49x^{2}}=7x$$

Намерете корен квадратен от последния член, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Квадратът на тричлен е квадратът на бинома, който е сумата или разликата на квадратните корени на първия и последния член, като знакът се определя от знака на средния член на квадрата на тричлена.

$$\left(7x-3\right)^{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$49x^{2}-42x+9=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 49\times 9}}{2\times 49}$$

Повдигане на квадрат на -42.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 49\times 9}}{2\times 49}$$

Умножете -4 по 49.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-196\times 9}}{2\times 49}$$

Умножете -196 по 9.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-1764}}{2\times 49}$$

Съберете 1764 с -1764.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±0}{2\times 49}$$

Противоположното на -42 е 42.

$$x=\frac{42±0}{2\times 49}$$

Умножете 2 по 49.

$$x=\frac{42±0}{98}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{3}{7} и x_{2} с \frac{3}{7}.

$$49x^{2}-42x+9=49\left(x-\frac{3}{7}\right)\left(x-\frac{3}{7}\right)$$

Извадете \frac{3}{7} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{7x-3}{7}\left(x-\frac{3}{7}\right)$$

Извадете \frac{3}{7} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{7x-3}{7}\times \frac{7x-3}{7}$$

Умножете \frac{7x-3}{7} по \frac{7x-3}{7}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)}{7\times 7}$$

Умножете 7 по 7.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)}{49}$$

Съкратете най-големия общ множител 49 в 49 и 49.

$$49x^{2}-42x+9=\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)$$

Изчисляване

$$\left(7x-3\right)^{2}$$