Решете 49t^2-147t-196=0

$$49 t ^ { 2 } - 147 t - 196 = 0$$

Решаване за t

$$t=-1$$

$$t=4$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Разделете двете страни на 49.

$$t^{2}-3t-4=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като t^{2}+at+bt-4. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -4 на продукта.

$$1,-4 2,-2$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Решението е двойката, която дава сума -3.

$$a=-4 b=1$$

Напишете t^{2}-3t-4 като \left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right).

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

Разложете на множители t в t^{2}-4t.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

Разложете на множители общия член t-4, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете t-4=0 и t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 49 вместо a, -147 вместо b и -196 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{\left(-147\right)^{2}-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Повдигане на квадрат на -147.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Умножете -4 по 49.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-196\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Умножете -196 по -196.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609+38416}}{2\times 49}$$

Съберете 21609 с 38416.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{60025}}{2\times 49}$$

Получете корен квадратен от 60025.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±245}{2\times 49}$$

Противоположното на -147 е 147.

$$t=\frac{147±245}{2\times 49}$$

Умножете 2 по 49.

$$t=\frac{147±245}{98}$$

Сега решете уравнението t=\frac{147±245}{98}, когато ± е плюс. Съберете 147 с 245.

$$t=\frac{392}{98}$$

Разделете 392 на 98.

$$t=4$$

Сега решете уравнението t=\frac{147±245}{98}, когато ± е минус. Извадете 245 от 147.

$$t=-\frac{98}{98}$$

Разделете -98 на 98.

$$t=-1$$

Уравнението сега е решено.

$$t=4 t=-1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Съберете 196 към двете страни на уравнението.

$$49t^{2}-147t-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

Изваждане на -196 от самото него дава 0.

$$49t^{2}-147t=-\left(-196\right)$$

Извадете -196 от 0.

$$49t^{2}-147t=196$$

Разделете двете страни на 49.

$$\frac{49t^{2}-147t}{49}=\frac{196}{49}$$

Делението на 49 отменя умножението по 49.

$$t^{2}+\left(-\frac{147}{49}\right)t=\frac{196}{49}$$

Разделете -147 на 49.

$$t^{2}-3t=\frac{196}{49}$$

Разделете 196 на 49.

$$t^{2}-3t=4$$

Разделете -3 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{3}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{3}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{3}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Съберете 4 с \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Разложете на множител t^{2}-3t+\frac{9}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Опростявайте.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Съберете \frac{3}{2} към двете страни на уравнението.

$$t=4 t=-1$$