Решете 49n^2+168n+144

$$49 n ^ { 2 } + 168 n + 144$$

Разлагане на множители

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 49n^{2}+an+bn+144. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=168 ab=49\times 144=7056$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 7056 на продукта.

$$1,7056 2,3528 3,2352 4,1764 6,1176 7,1008 8,882 9,784 12,588 14,504 16,441 18,392 21,336 24,294 28,252 36,196 42,168 48,147 49,144 56,126 63,112 72,98 84,84$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+7056=7057 2+3528=3530 3+2352=2355 4+1764=1768 6+1176=1182 7+1008=1015 8+882=890 9+784=793 12+588=600 14+504=518 16+441=457 18+392=410 21+336=357 24+294=318 28+252=280 36+196=232 42+168=210 48+147=195 49+144=193 56+126=182 63+112=175 72+98=170 84+84=168$$

Решението е двойката, която дава сума 168.

$$a=84 b=84$$

Напишете 49n^{2}+168n+144 като \left(49n^{2}+84n\right)+\left(84n+144\right).

$$\left(49n^{2}+84n\right)+\left(84n+144\right)$$

Фактор, 7n в първата и 12 във втората група.

$$7n\left(7n+12\right)+12\left(7n+12\right)$$

Разложете на множители общия член 7n+12, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)$$

Преобразуване като биномен квадрат.

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Стъпки с квадрат на двучлен

Този тричлен има формата на тричленен квадрат, може би умножена с общ множител. Тричленните квадрати могат да се разложат чрез намиране на квадратните корени на първия и последния член.

$$factor(49n^{2}+168n+144)$$

Намерете най-големия общ множител на коефициентите.

$$gcf(49,168,144)=1$$

Намерете корен квадратен от първия член, 49n^{2}.

$$\sqrt{49n^{2}}=7n$$

Намерете корен квадратен от последния член, 144.

$$\sqrt{144}=12$$

Квадратът на тричлен е квадратът на бинома, който е сумата или разликата на квадратните корени на първия и последния член, като знакът се определя от знака на средния член на квадрата на тричлена.

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$49n^{2}+168n+144=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$n=\frac{-168±\sqrt{168^{2}-4\times 49\times 144}}{2\times 49}$$

Повдигане на квадрат на 168.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-4\times 49\times 144}}{2\times 49}$$

Умножете -4 по 49.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-196\times 144}}{2\times 49}$$

Умножете -196 по 144.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-28224}}{2\times 49}$$

Съберете 28224 с -28224.

$$n=\frac{-168±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$n=\frac{-168±0}{2\times 49}$$

Умножете 2 по 49.

$$n=\frac{-168±0}{98}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с -\frac{12}{7} и x_{2} с -\frac{12}{7}.

$$49n^{2}+168n+144=49\left(n-\left(-\frac{12}{7}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{12}{7}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$49n^{2}+168n+144=49\left(n+\frac{12}{7}\right)\left(n+\frac{12}{7}\right)$$

Съберете \frac{12}{7} и n, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{7n+12}{7}\left(n+\frac{12}{7}\right)$$

Съберете \frac{12}{7} и n, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{7n+12}{7}\times \frac{7n+12}{7}$$

Умножете \frac{7n+12}{7} по \frac{7n+12}{7}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)}{7\times 7}$$

Умножете 7 по 7.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)}{49}$$

Съкратете най-големия общ множител 49 в 49 и 49.

$$49n^{2}+168n+144=\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)$$

Изчисляване

$$\left(7n+12\right)^{2}$$