Решете 42m^2-89m-21

$$42 m ^ { 2 } - 89 m - 21$$

Разлагане на множители

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 42m^{2}+am+bm-21. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-89 ab=42\left(-21\right)=-882$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -882 на продукта.

$$1,-882 2,-441 3,-294 6,-147 7,-126 9,-98 14,-63 18,-49 21,-42$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-882=-881 2-441=-439 3-294=-291 6-147=-141 7-126=-119 9-98=-89 14-63=-49 18-49=-31 21-42=-21$$

Решението е двойката, която дава сума -89.

$$a=-98 b=9$$

Напишете 42m^{2}-89m-21 като \left(42m^{2}-98m\right)+\left(9m-21\right).

$$\left(42m^{2}-98m\right)+\left(9m-21\right)$$

Фактор, 14m в първата и 3 във втората група.

$$14m\left(3m-7\right)+3\left(3m-7\right)$$

Разложете на множители общия член 3m-7, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$42m^{2}-89m-21=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{\left(-89\right)^{2}-4\times 42\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

Повдигане на квадрат на -89.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921-4\times 42\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

Умножете -4 по 42.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921-168\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

Умножете -168 по -21.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921+3528}}{2\times 42}$$

Съберете 7921 с 3528.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{11449}}{2\times 42}$$

Получете корен квадратен от 11449.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±107}{2\times 42}$$

Противоположното на -89 е 89.

$$m=\frac{89±107}{2\times 42}$$

Умножете 2 по 42.

$$m=\frac{89±107}{84}$$

Сега решете уравнението m=\frac{89±107}{84}, когато ± е плюс. Съберете 89 с 107.

$$m=\frac{196}{84}$$

Намаляване на дробта \frac{196}{84} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 28.

$$m=\frac{7}{3}$$

Сега решете уравнението m=\frac{89±107}{84}, когато ± е минус. Извадете 107 от 89.

$$m=-\frac{18}{84}$$

Намаляване на дробта \frac{-18}{84} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$m=-\frac{3}{14}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{7}{3} и x_{2} с -\frac{3}{14}.

$$42m^{2}-89m-21=42\left(m-\frac{7}{3}\right)\left(m-\left(-\frac{3}{14}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$42m^{2}-89m-21=42\left(m-\frac{7}{3}\right)\left(m+\frac{3}{14}\right)$$

Извадете \frac{7}{3} от m, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{3m-7}{3}\left(m+\frac{3}{14}\right)$$

Съберете \frac{3}{14} и m, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{3m-7}{3}\times \frac{14m+3}{14}$$

Умножете \frac{3m-7}{3} по \frac{14m+3}{14}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)}{3\times 14}$$

Умножете 3 по 14.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)}{42}$$

Съкратете най-големия общ множител 42 в 42 и 42.

$$42m^{2}-89m-21=\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

Изчисляване

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$