Решете 419x^2-918x+459=0

$$419 x ^ { 2 } - 918 x + 459 = 0$$

Решаване за x

$$x = \frac{6 \sqrt{510} + 459}{419} \approx 1,418852214$$

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}\approx 0,772078574$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$419x^{2}-918x+459=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 419 вместо a, -918 вместо b и 459 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{\left(-918\right)^{2}-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

Повдигане на квадрат на -918.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

Умножете -4 по 419.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-1676\times 459}}{2\times 419}$$

Умножете -1676 по 459.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-769284}}{2\times 419}$$

Съберете 842724 с -769284.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{73440}}{2\times 419}$$

Получете корен квадратен от 73440.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

Противоположното на -918 е 918.

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

Умножете 2 по 419.

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838}$$

Сега решете уравнението x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838}, когато ± е плюс. Съберете 918 с 12\sqrt{510}.

$$x=\frac{12\sqrt{510}+918}{838}$$

Разделете 918+12\sqrt{510} на 838.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419}$$

Сега решете уравнението x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838}, когато ± е минус. Извадете 12\sqrt{510} от 918.

$$x=\frac{918-12\sqrt{510}}{838}$$

Разделете 918-12\sqrt{510} на 838.

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$419x^{2}-918x+459=0$$

Извадете 459 и от двете страни на уравнението.

$$419x^{2}-918x+459-459=-459$$

Изваждане на 459 от самото него дава 0.

$$419x^{2}-918x=-459$$

Разделете двете страни на 419.

$$\frac{419x^{2}-918x}{419}=-\frac{459}{419}$$

Делението на 419 отменя умножението по 419.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x=-\frac{459}{419}$$

Разделете -\frac{918}{419} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{459}{419}. След това съберете квадрата на -\frac{459}{419} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}=-\frac{459}{419}+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{459}{419}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=-\frac{459}{419}+\frac{210681}{175561}$$

Съберете -\frac{459}{419} и \frac{210681}{175561}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=\frac{18360}{175561}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}=\frac{18360}{175561}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18360}{175561}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{459}{419}=\frac{6\sqrt{510}}{419} x-\frac{459}{419}=-\frac{6\sqrt{510}}{419}$$

Съберете \frac{459}{419} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$