Решете 40x+2x(30-2x)=200

$$40x+2x(30-2x)=200$$

Решаване за x

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22,807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2,192235936$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x по 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Групирайте 40x и 60x, за да получите 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Извадете 200 и от двете страни.

$$100x-4x^{2}-200=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -4 вместо a, 100 вместо b и -200 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Повдигане на квадрат на 100.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Умножете -4 по -4.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Умножете 16 по -200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

Съберете 10000 с -3200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

Получете корен квадратен от 6800.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Умножете 2 по -4.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}, когато ± е плюс. Съберете -100 с 20\sqrt{17}.

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Разделете -100+20\sqrt{17} на -8.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}, когато ± е минус. Извадете 20\sqrt{17} от -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Разделете -100-20\sqrt{17} на -8.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x по 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Групирайте 40x и 60x, за да получите 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+100x=200$$

Разделете двете страни на -4.

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

Делението на -4 отменя умножението по -4.

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

Разделете 100 на -4.

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

Разделете 200 на -4.

$$x^{2}-25x=-50$$

Разделете -25 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{25}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{25}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{25}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

Съберете -50 с \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

Съберете \frac{25}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$