Решете 4y^2-24y+27

$$4 y ^ { 2 } - 24 y + 27$$

Разлагане на множители

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 4y^{2}+ay+by+27. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-24 ab=4\times 27=108$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 108 на продукта.

$$-1,-108 -2,-54 -3,-36 -4,-27 -6,-18 -9,-12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-108=-109 -2-54=-56 -3-36=-39 -4-27=-31 -6-18=-24 -9-12=-21$$

Решението е двойката, която дава сума -24.

$$a=-18 b=-6$$

Напишете 4y^{2}-24y+27 като \left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right).

$$\left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right)$$

Фактор, 2y в първата и -3 във втората група.

$$2y\left(2y-9\right)-3\left(2y-9\right)$$

Разложете на множители общия член 2y-9, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$4y^{2}-24y+27=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

Повдигане на квадрат на -24.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

Умножете -4 по 4.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-16\times 27}}{2\times 4}$$

Умножете -16 по 27.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 4}$$

Съберете 576 с -432.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Получете корен квадратен от 144.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 4}$$

Противоположното на -24 е 24.

$$y=\frac{24±12}{2\times 4}$$

Умножете 2 по 4.

$$y=\frac{24±12}{8}$$

Сега решете уравнението y=\frac{24±12}{8}, когато ± е плюс. Съберете 24 с 12.

$$y=\frac{36}{8}$$

Намаляване на дробта \frac{36}{8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$y=\frac{9}{2}$$

Сега решете уравнението y=\frac{24±12}{8}, когато ± е минус. Извадете 12 от 24.

$$y=\frac{12}{8}$$

Намаляване на дробта \frac{12}{8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$y=\frac{3}{2}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{9}{2} и x_{2} с \frac{3}{2}.

$$4y^{2}-24y+27=4\left(y-\frac{9}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Извадете \frac{9}{2} от y, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Извадете \frac{3}{2} от y, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\times \frac{2y-3}{2}$$

Умножете \frac{2y-9}{2} по \frac{2y-3}{2}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{4}$$

Съкратете най-големия общ множител 4 в 4 и 4.

$$4y^{2}-24y+27=\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Изчисляване

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$