Решете 4y^2-12y+9

$$4 y ^ { 2 } - 12 y + 9$$

Разлагане на множители

$$\left(2y-3\right)^{2}$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 4y^{2}+ay+by+9. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-12 ab=4\times 9=36$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 36 на продукта.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Решението е двойката, която дава сума -12.

$$a=-6 b=-6$$

Напишете 4y^{2}-12y+9 като \left(4y^{2}-6y\right)+\left(-6y+9\right).

$$\left(4y^{2}-6y\right)+\left(-6y+9\right)$$

Фактор, 2y в първата и -3 във втората група.

$$2y\left(2y-3\right)-3\left(2y-3\right)$$

Разложете на множители общия член 2y-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2y-3\right)\left(2y-3\right)$$

Преобразуване като биномен квадрат.

$$\left(2y-3\right)^{2}$$

Стъпки с квадрат на двучлен

Този тричлен има формата на тричленен квадрат, може би умножена с общ множител. Тричленните квадрати могат да се разложат чрез намиране на квадратните корени на първия и последния член.

$$factor(4y^{2}-12y+9)$$

Намерете най-големия общ множител на коефициентите.

$$gcf(4,-12,9)=1$$

Намерете корен квадратен от първия член, 4y^{2}.

$$\sqrt{4y^{2}}=2y$$

Намерете корен квадратен от последния член, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Квадратът на тричлен е квадратът на бинома, който е сумата или разликата на квадратните корени на първия и последния член, като знакът се определя от знака на средния член на квадрата на тричлена.

$$\left(2y-3\right)^{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$4y^{2}-12y+9=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Повдигане на квадрат на -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Умножете -4 по 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

Умножете -16 по 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

Съберете 144 с -144.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±0}{2\times 4}$$

Противоположното на -12 е 12.

$$y=\frac{12±0}{2\times 4}$$

Умножете 2 по 4.

$$y=\frac{12±0}{8}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{3}{2} и x_{2} с \frac{3}{2}.

$$4y^{2}-12y+9=4\left(y-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Извадете \frac{3}{2} от y, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$4y^{2}-12y+9=4\times \frac{2y-3}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Извадете \frac{3}{2} от y, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$4y^{2}-12y+9=4\times \frac{2y-3}{2}\times \frac{2y-3}{2}$$

Умножете \frac{2y-3}{2} по \frac{2y-3}{2}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$4y^{2}-12y+9=4\times \frac{\left(2y-3\right)\left(2y-3\right)}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$4y^{2}-12y+9=4\times \frac{\left(2y-3\right)\left(2y-3\right)}{4}$$

Съкратете най-големия общ множител 4 в 4 и 4.

$$4y^{2}-12y+9=\left(2y-3\right)\left(2y-3\right)$$

Изчисляване

$$\left(2y-3\right)^{2}$$