Решете 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Решаване за x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$4x-y=5$$

Съберете y към двете страни на уравнението.

$$4x=y+5$$

Разделете двете страни на 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Умножете \frac{1}{4} по y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Заместете \frac{5+y}{4} вместо x в другото уравнение, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Умножете -4 по \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Съберете -y с 5y.

$$4y-5=7$$

Съберете 5 към двете страни на уравнението.

$$4y=12$$

Разделете двете страни на 4.

$$y=3$$

Заместете 3 вместо y в x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Умножете \frac{1}{4} по 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Съберете \frac{5}{4} и \frac{3}{4}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x=2$$

Системата сега е решена.

$$x=2,y=3$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=2,y=3$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

За да направите 4x и -4x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по -4, а всички членове от двете страни на второто по 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Опростявайте.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Извадете -16x+20y=28 от -16x+4y=-20, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Съберете -16x с 16x. Условията -16x и 16x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$4y-20y=-20-28$$

Съберете 4y с -20y.

$$-16y=-20-28$$

Съберете -20 с -28.

$$-16y=-48$$

Разделете двете страни на -16.

$$y=3$$

Заместете 3 вместо y в -4x+5y=7. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$-4x+5\times 3=7$$

Умножете 5 по 3.

$$-4x+15=7$$

Извадете 15 и от двете страни на уравнението.

$$-4x=-8$$

Разделете двете страни на -4.

$$x=2$$

Системата сега е решена.

$$x=2,y=3$$