Решете 4x-9y=12text{y}2x+6y=-1

$$4 x - 9 y = 12 \text { y } 2 x + 6 y = - 1$$

Решаване за x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$4x-9y=12,2x+6y=-1$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$4x-9y=12$$

Съберете 9y към двете страни на уравнението.

$$4x=9y+12$$

Разделете двете страни на 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(9y+12\right)$$

Умножете \frac{1}{4} по 9y+12.

$$x=\frac{9}{4}y+3$$

Заместете \frac{9y}{4}+3 вместо x в другото уравнение, 2x+6y=-1.

$$2\left(\frac{9}{4}y+3\right)+6y=-1$$

Умножете 2 по \frac{9y}{4}+3.

$$\frac{9}{2}y+6+6y=-1$$

Съберете \frac{9y}{2} с 6y.

$$\frac{21}{2}y+6=-1$$

Извадете 6 и от двете страни на уравнението.

$$\frac{21}{2}y=-7$$

Разделете двете страни на уравнението на \frac{21}{2}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Заместете -\frac{2}{3} вместо y в x=\frac{9}{4}y+3. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=\frac{9}{4}\left(-\frac{2}{3}\right)+3$$

Умножете \frac{9}{4} по -\frac{2}{3}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Съберете 3 с -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Системата сега е решена.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{2}{3}$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$4x-9y=12,2x+6y=-1$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-\left(-9\times 2\right)}&-\frac{-9}{4\times 6-\left(-9\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 6-\left(-9\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 6-\left(-9\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{14}\\-\frac{1}{21}&\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 12+\frac{3}{14}\left(-1\right)\\-\frac{1}{21}\times 12+\frac{2}{21}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{2}{3}$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$4x-9y=12,2x+6y=-1$$

За да направите 4x и 2x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 2, а всички членове от двете страни на второто по 4.

$$2\times 4x+2\left(-9\right)y=2\times 12,4\times 2x+4\times 6y=4\left(-1\right)$$

Опростявайте.

$$8x-18y=24,8x+24y=-4$$

Извадете 8x+24y=-4 от 8x-18y=24, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$8x-8x-18y-24y=24+4$$

Съберете 8x с -8x. Условията 8x и -8x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-18y-24y=24+4$$

Съберете -18y с -24y.

$$-42y=24+4$$

Съберете 24 с 4.

$$-42y=28$$

Разделете двете страни на -42.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Заместете -\frac{2}{3} вместо y в 2x+6y=-1. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$2x+6\left(-\frac{2}{3}\right)=-1$$

Умножете 6 по -\frac{2}{3}.

$$2x-4=-1$$

Съберете 4 към двете страни на уравнението.

$$2x=3$$

Разделете двете страни на 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Системата сега е решена.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{2}{3}$$