Решете 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Решаване за x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3,6$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$4x-5y=2$$

Съберете 5y към двете страни на уравнението.

$$4x=5y+2$$

Разделете двете страни на 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Умножете \frac{1}{4} по 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Заместете \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} вместо x в другото уравнение, x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Съберете \frac{5y}{4} с 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Извадете \frac{1}{2} и от двете страни на уравнението.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Разделете двете страни на уравнението на \frac{45}{4}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$y=\frac{18}{5}$$

Заместете \frac{18}{5} вместо y в x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Умножете \frac{5}{4} по \frac{18}{5}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Съберете \frac{1}{2} и \frac{9}{2}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x=5$$

Системата сега е решена.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

За да направите 4x и x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 1, а всички членове от двете страни на второто по 4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Опростявайте.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Извадете 4x+40y=164 от 4x-5y=2, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Съберете 4x с -4x. Условията 4x и -4x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-5y-40y=2-164$$

Съберете -5y с -40y.

$$-45y=2-164$$

Съберете 2 с -164.

$$-45y=-162$$

Разделете двете страни на -45.

$$y=\frac{18}{5}$$

Заместете \frac{18}{5} вместо y в x+10y=41. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Умножете 10 по \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Извадете 36 и от двете страни на уравнението.

$$x=5$$

Системата сега е решена.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$