Решете 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

Решаване за x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$4x-5y=-14$$

Съберете 5y към двете страни на уравнението.

$$4x=5y-14$$

Разделете двете страни на 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

Умножете \frac{1}{4} по 5y-14.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Заместете \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} вместо x в другото уравнение, 7x+y=-5.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

Умножете 7 по \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

Съберете \frac{35y}{4} с y.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

Съберете \frac{49}{2} към двете страни на уравнението.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

Разделете двете страни на уравнението на \frac{39}{4}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$y=2$$

Заместете 2 вместо y в x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Умножете \frac{5}{4} по 2.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

Съберете -\frac{7}{2} и \frac{5}{2}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x=-1$$

Системата сега е решена.

$$x=-1,y=2$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=-1,y=2$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

За да направите 4x и 7x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 7, а всички членове от двете страни на второто по 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

Опростявайте.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

Извадете 28x+4y=-20 от 28x-35y=-98, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

Съберете 28x с -28x. Условията 28x и -28x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-35y-4y=-98+20$$

Съберете -35y с -4y.

$$-39y=-98+20$$

Съберете -98 с 20.

$$-39y=-78$$

Разделете двете страни на -39.

$$y=2$$

Заместете 2 вместо y в 7x+y=-5. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$7x+2=-5$$

Извадете 2 и от двете страни на уравнението.

$$7x=-7$$

Разделете двете страни на 7.

$$x=-1$$

Системата сега е решена.

$$x=-1,y=2$$