Решете 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Решаване за x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$4x-3y=2$$

Съберете 3y към двете страни на уравнението.

$$4x=3y+2$$

Разделете двете страни на 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Умножете \frac{1}{4} по 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Заместете \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} вместо x в другото уравнение, x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Съберете \frac{3y}{4} с 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Извадете \frac{1}{2} и от двете страни на уравнението.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Разделете двете страни на уравнението на \frac{23}{4}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$y=-2$$

Заместете -2 вместо y в x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Умножете \frac{3}{4} по -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Съберете \frac{1}{2} и -\frac{3}{2}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x=-1$$

Системата сега е решена.

$$x=-1,y=-2$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=-1,y=-2$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

За да направите 4x и x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 1, а всички членове от двете страни на второто по 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Опростявайте.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Извадете 4x+20y=-44 от 4x-3y=2, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Съберете 4x с -4x. Условията 4x и -4x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-3y-20y=2+44$$

Съберете -3y с -20y.

$$-23y=2+44$$

Съберете 2 с 44.

$$-23y=46$$

Разделете двете страни на -23.

$$y=-2$$

Заместете -2 вместо y в x+5y=-11. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Умножете 5 по -2.

$$x-10=-11$$

Съберете 10 към двете страни на уравнението.

$$x=-1$$

Системата сега е решена.

$$x=-1,y=-2$$