Решете 4x-2y=6;quad9x+11y=-8

$$4 x - 2 y = 6 ; \quad 9 x + 11 y = - 8$$

Решаване за x, y

$$x=\frac{25}{31}\approx 0,806451613$$

$$y = -\frac{43}{31} = -1\frac{12}{31} \approx -1,387096774$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$4x-2y=6,9x+11y=-8$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$4x-2y=6$$

Съберете 2y към двете страни на уравнението.

$$4x=2y+6$$

Разделете двете страни на 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+6\right)$$

Умножете \frac{1}{4} по 6+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Заместете \frac{3+y}{2} вместо x в другото уравнение, 9x+11y=-8.

$$9\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+11y=-8$$

Умножете 9 по \frac{3+y}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{27}{2}+11y=-8$$

Съберете \frac{9y}{2} с 11y.

$$\frac{31}{2}y+\frac{27}{2}=-8$$

Извадете \frac{27}{2} и от двете страни на уравнението.

$$\frac{31}{2}y=-\frac{43}{2}$$

Разделете двете страни на уравнението на \frac{31}{2}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$y=-\frac{43}{31}$$

Заместете -\frac{43}{31} вместо y в x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{43}{31}\right)+\frac{3}{2}$$

Умножете \frac{1}{2} по -\frac{43}{31}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$x=-\frac{43}{62}+\frac{3}{2}$$

Съберете \frac{3}{2} и -\frac{43}{62}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x=\frac{25}{31}$$

Системата сега е решена.

$$x=\frac{25}{31},y=-\frac{43}{31}$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$4x-2y=6,9x+11y=-8$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{4\times 11-\left(-2\times 9\right)}&-\frac{-2}{4\times 11-\left(-2\times 9\right)}\\-\frac{9}{4\times 11-\left(-2\times 9\right)}&\frac{4}{4\times 11-\left(-2\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{62}&\frac{1}{31}\\-\frac{9}{62}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{62}\times 6+\frac{1}{31}\left(-8\right)\\-\frac{9}{62}\times 6+\frac{2}{31}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{31}\\-\frac{43}{31}\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=\frac{25}{31},y=-\frac{43}{31}$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$4x-2y=6,9x+11y=-8$$

За да направите 4x и 9x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 9, а всички членове от двете страни на второто по 4.

$$9\times 4x+9\left(-2\right)y=9\times 6,4\times 9x+4\times 11y=4\left(-8\right)$$

Опростявайте.

$$36x-18y=54,36x+44y=-32$$

Извадете 36x+44y=-32 от 36x-18y=54, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$36x-36x-18y-44y=54+32$$

Съберете 36x с -36x. Условията 36x и -36x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-18y-44y=54+32$$

Съберете -18y с -44y.

$$-62y=54+32$$

Съберете 54 с 32.

$$-62y=86$$

Разделете двете страни на -62.

$$y=-\frac{43}{31}$$

Заместете -\frac{43}{31} вместо y в 9x+11y=-8. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$9x+11\left(-\frac{43}{31}\right)=-8$$

Умножете 11 по -\frac{43}{31}.

$$9x-\frac{473}{31}=-8$$

Съберете \frac{473}{31} към двете страни на уравнението.

$$9x=\frac{225}{31}$$

Разделете двете страни на 9.

$$x=\frac{25}{31}$$

Системата сега е решена.

$$x=\frac{25}{31},y=-\frac{43}{31}$$