Решете 4x^2-25=(2x-5)(7x+3)

$$4 x ^ { 2 } - 25 = ( 2 x - 5 ) ( 7 x + 3 )$$

Решаване за x

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x-5 по 7x+3 и да групирате подобните членове.

$$4x^{2}-25=14x^{2}-29x-15$$

Извадете 14x^{2} и от двете страни.

$$4x^{2}-25-14x^{2}=-29x-15$$

Групирайте 4x^{2} и -14x^{2}, за да получите -10x^{2}.

$$-10x^{2}-25=-29x-15$$

Добавете 29x от двете страни.

$$-10x^{2}-25+29x=-15$$

Добавете 15 от двете страни.

$$-10x^{2}-25+29x+15=0$$

Съберете -25 и 15, за да се получи -10.

$$-10x^{2}-10+29x=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-10x^{2}+29x-10=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -10x^{2}+ax+bx-10. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=29 ab=-10\left(-10\right)=100$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 100 на продукта.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Решението е двойката, която дава сума 29.

$$a=25 b=4$$

Напишете -10x^{2}+29x-10 като \left(-10x^{2}+25x\right)+\left(4x-10\right).

$$\left(-10x^{2}+25x\right)+\left(4x-10\right)$$

Фактор, -5x в първата и 2 във втората група.

$$-5x\left(2x-5\right)+2\left(2x-5\right)$$

Разложете на множители общия член 2x-5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2x-5\right)\left(-5x+2\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 2x-5=0 и -5x+2=0.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{2}{5}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x-5 по 7x+3 и да групирате подобните членове.

$$4x^{2}-25=14x^{2}-29x-15$$

Извадете 14x^{2} и от двете страни.

$$4x^{2}-25-14x^{2}=-29x-15$$

Групирайте 4x^{2} и -14x^{2}, за да получите -10x^{2}.

$$-10x^{2}-25=-29x-15$$

Добавете 29x от двете страни.

$$-10x^{2}-25+29x=-15$$

Добавете 15 от двете страни.

$$-10x^{2}-25+29x+15=0$$

Съберете -25 и 15, за да се получи -10.

$$-10x^{2}-10+29x=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-10x^{2}+29x-10=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -10 вместо a, 29 вместо b и -10 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-29±\sqrt{29^{2}-4\left(-10\right)\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Повдигане на квадрат на 29.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841-4\left(-10\right)\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Умножете -4 по -10.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841+40\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Умножете 40 по -10.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841-400}}{2\left(-10\right)}$$

Съберете 841 с -400.

$$x=\frac{-29±\sqrt{441}}{2\left(-10\right)}$$

Получете корен квадратен от 441.

$$x=\frac{-29±21}{2\left(-10\right)}$$

Умножете 2 по -10.

$$x=\frac{-29±21}{-20}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-29±21}{-20}, когато ± е плюс. Съберете -29 с 21.

$$x=-\frac{8}{-20}$$

Намаляване на дробта \frac{-8}{-20} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=\frac{2}{5}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-29±21}{-20}, когато ± е минус. Извадете 21 от -29.

$$x=-\frac{50}{-20}$$

Намаляване на дробта \frac{-50}{-20} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 10.

$$x=\frac{5}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{2}{5} x=\frac{5}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x-5 по 7x+3 и да групирате подобните членове.

$$4x^{2}-25=14x^{2}-29x-15$$

Извадете 14x^{2} и от двете страни.

$$4x^{2}-25-14x^{2}=-29x-15$$

Групирайте 4x^{2} и -14x^{2}, за да получите -10x^{2}.

$$-10x^{2}-25=-29x-15$$

Добавете 29x от двете страни.

$$-10x^{2}-25+29x=-15$$

Добавете 25 от двете страни.

$$-10x^{2}+29x=-15+25$$

Съберете -15 и 25, за да се получи 10.

$$-10x^{2}+29x=10$$

Разделете двете страни на -10.

$$\frac{-10x^{2}+29x}{-10}=\frac{10}{-10}$$

Делението на -10 отменя умножението по -10.

$$x^{2}+\frac{29}{-10}x=\frac{10}{-10}$$

Разделете 29 на -10.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x=\frac{10}{-10}$$

Разделете 10 на -10.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x=-1$$

Разделете -\frac{29}{10} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{29}{20}. След това съберете квадрата на -\frac{29}{20} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x+\left(-\frac{29}{20}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{29}{20}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{29}{20}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x+\frac{841}{400}=-1+\frac{841}{400}$$

Съберете -1 с \frac{841}{400}.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x+\frac{841}{400}=\frac{441}{400}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{29}{10}x+\frac{841}{400}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{20}\right)^{2}=\frac{441}{400}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{400}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{29}{20}=\frac{21}{20} x-\frac{29}{20}=-\frac{21}{20}$$

Съберете \frac{29}{20} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{2}{5}$$