Решете 4x^2-16x+15

$$4 x ^ { 2 } - 16 x + 15$$

Разлагане на множители

$$\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 4x^{2}+ax+bx+15. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-16 ab=4\times 15=60$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 60 на продукта.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

Решението е двойката, която дава сума -16.

$$a=-10 b=-6$$

Напишете 4x^{2}-16x+15 като \left(4x^{2}-10x\right)+\left(-6x+15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(-6x+15\right)$$

Фактор, 2x в първата и -3 във втората група.

$$2x\left(2x-5\right)-3\left(2x-5\right)$$

Разложете на множители общия член 2x-5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-16x+15=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

Повдигане на квадрат на -16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

Умножете -4 по 4.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-16\times 15}}{2\times 4}$$

Умножете -16 по 15.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-240}}{2\times 4}$$

Съберете 256 с -240.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

Получете корен квадратен от 16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±4}{2\times 4}$$

Противоположното на -16 е 16.

$$x=\frac{16±4}{2\times 4}$$

Умножете 2 по 4.

$$x=\frac{16±4}{8}$$

Сега решете уравнението x=\frac{16±4}{8}, когато ± е плюс. Съберете 16 с 4.

$$x=\frac{20}{8}$$

Намаляване на дробта \frac{20}{8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{16±4}{8}, когато ± е минус. Извадете 4 от 16.

$$x=\frac{12}{8}$$

Намаляване на дробта \frac{12}{8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{5}{2} и x_{2} с \frac{3}{2}.

$$4x^{2}-16x+15=4\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)$$

Извадете \frac{5}{2} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$4x^{2}-16x+15=4\times \frac{2x-5}{2}\left(x-\frac{3}{2}\right)$$

Извадете \frac{3}{2} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$4x^{2}-16x+15=4\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{2x-3}{2}$$

Умножете \frac{2x-5}{2} по \frac{2x-3}{2}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$4x^{2}-16x+15=4\times \frac{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$4x^{2}-16x+15=4\times \frac{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{4}$$

Съкратете най-големия общ множител 4 в 4 и 4.

$$4x^{2}-16x+15=\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)$$

Изчисляване

$$\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)$$