Решете 4x^2+8x-45<0

$$4 x ^ { 2 } + 8 x - 45 < 0$$

Решаване за x

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+8x-45=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 4 за a, 8 за b и -45 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-45\right)}}{2\times 4}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-8±28}{8}$$

Решете уравнението x=\frac{-8±28}{8}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{9}{2}$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$4\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{9}{2}\right)<0$$

За да бъде произведението отрицателно, x-\frac{5}{2} и x+\frac{9}{2} трябва да бъдат с противоположни знаци. Разгледайте случая, когато x-\frac{5}{2} е положително, а x+\frac{9}{2} е отрицателно.

$$x-\frac{5}{2}>0 x+\frac{9}{2}<0$$

Това е невярно за всяко x.

$$x\in \emptyset$$

Разгледайте случая, когато x+\frac{9}{2} е положително, а x-\frac{5}{2} е отрицателно.

$$x+\frac{9}{2}>0 x-\frac{5}{2}<0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right).

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$