Решете 4x^2+4x+1=9x^2

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 9 x ^ { 2 }$$

Решаване за x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=1$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Извадете 9x^{2} и от двете страни.

$$4x^{2}+4x+1-9x^{2}=0$$

Групирайте 4x^{2} и -9x^{2}, за да получите -5x^{2}.

$$-5x^{2}+4x+1=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -5x^{2}+ax+bx+1. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=4 ab=-5=-5$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Единствената такава двойка е системното решение.

$$a=5 b=-1$$

Напишете -5x^{2}+4x+1 като \left(-5x^{2}+5x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(-5x^{2}+5x\right)+\left(-x+1\right)$$

Разложете на множители 5x в -5x^{2}+5x.

$$5x\left(-x+1\right)-x+1$$

Разложете на множители общия член -x+1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x+1\right)\left(5x+1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x+1=0 и 5x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Извадете 9x^{2} и от двете страни.

$$4x^{2}+4x+1-9x^{2}=0$$

Групирайте 4x^{2} и -9x^{2}, за да получите -5x^{2}.

$$-5x^{2}+4x+1=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -5 вместо a, 4 вместо b и 1 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-5\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Повдигане на квадрат на 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-5\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Умножете -4 по -5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+20}}{2\left(-5\right)}$$

Съберете 16 с 20.

$$x=\frac{-4±\sqrt{36}}{2\left(-5\right)}$$

Получете корен квадратен от 36.

$$x=\frac{-4±6}{2\left(-5\right)}$$

Умножете 2 по -5.

$$x=\frac{-4±6}{-10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-4±6}{-10}, когато ± е плюс. Съберете -4 с 6.

$$x=\frac{2}{-10}$$

Намаляване на дробта \frac{2}{-10} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-4±6}{-10}, когато ± е минус. Извадете 6 от -4.

$$x=-\frac{10}{-10}$$

Разделете -10 на -10.

$$x=1$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-\frac{1}{5} x=1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Извадете 9x^{2} и от двете страни.

$$4x^{2}+4x+1-9x^{2}=0$$

Групирайте 4x^{2} и -9x^{2}, за да получите -5x^{2}.

$$-5x^{2}+4x+1=0$$

Извадете 1 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$-5x^{2}+4x=-1$$

Разделете двете страни на -5.

$$\frac{-5x^{2}+4x}{-5}=-\frac{1}{-5}$$

Делението на -5 отменя умножението по -5.

$$x^{2}+\frac{4}{-5}x=-\frac{1}{-5}$$

Разделете 4 на -5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{1}{-5}$$

Разделете -1 на -5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

Разделете -\frac{4}{5} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{2}{5}. След това съберете квадрата на -\frac{2}{5} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{2}{5}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

Съберете \frac{1}{5} и \frac{4}{25}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

Съберете \frac{2}{5} към двете страни на уравнението.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$