Решете 4a^2+17a-15

$$4 a ^ { 2 } + 17 a - 15$$

Разлагане на множители

$$\left(4a-3\right)\left(a+5\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 4a^{2}+pa+qa-15. За да намерите p и q, настройте система, която да бъде решена.

$$p+q=17 pq=4\left(-15\right)=-60$$

Тъй като pq е отрицателен, p и q имат противоположни знаци. Тъй като p+q е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -60 на продукта.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Решението е двойката, която дава сума 17.

$$p=-3 q=20$$

Напишете 4a^{2}+17a-15 като \left(4a^{2}-3a\right)+\left(20a-15\right).

$$\left(4a^{2}-3a\right)+\left(20a-15\right)$$

Фактор, a в първата и 5 във втората група.

$$a\left(4a-3\right)+5\left(4a-3\right)$$

Разложете на множители общия член 4a-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(4a-3\right)\left(a+5\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$4a^{2}+17a-15=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$a=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Повдигане на квадрат на 17.

$$a=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Умножете -4 по 4.

$$a=\frac{-17±\sqrt{289-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Умножете -16 по -15.

$$a=\frac{-17±\sqrt{289+240}}{2\times 4}$$

Съберете 289 с 240.

$$a=\frac{-17±\sqrt{529}}{2\times 4}$$

Получете корен квадратен от 529.

$$a=\frac{-17±23}{2\times 4}$$

Умножете 2 по 4.

$$a=\frac{-17±23}{8}$$

Сега решете уравнението a=\frac{-17±23}{8}, когато ± е плюс. Съберете -17 с 23.

$$a=\frac{6}{8}$$

Намаляване на дробта \frac{6}{8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$a=\frac{3}{4}$$

Сега решете уравнението a=\frac{-17±23}{8}, когато ± е минус. Извадете 23 от -17.

$$a=-\frac{40}{8}$$

Разделете -40 на 8.

$$a=-5$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{3}{4} и x_{2} с -5.

$$4a^{2}+17a-15=4\left(a-\frac{3}{4}\right)\left(a-\left(-5\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$4a^{2}+17a-15=4\left(a-\frac{3}{4}\right)\left(a+5\right)$$

Извадете \frac{3}{4} от a, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$4a^{2}+17a-15=4\times \frac{4a-3}{4}\left(a+5\right)$$

Съкратете най-големия общ множител 4 в 4 и 4.

$$4a^{2}+17a-15=\left(4a-3\right)\left(a+5\right)$$

Изчисляване

$$\left(4a-3\right)\left(a+5\right)$$