Решете 4(x^2+2x)+1/x^2+2x=-5

$$4 ( x ^ { 2 } + 2 x ) + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 2 x } = - 5$$

Решаване за x

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -1,866025404$$

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -0,133974596$$

$$x=-1$$

Стъпки на решението

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по x\left(x+2\right).

$$4\left(x^{2}+2x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по x^{2}+2x.

$$\left(4x^{2}+8x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4x^{2}+8x по x.

$$\left(4x^{3}+8x^{2}\right)\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4x^{3}+8x^{2} по x+2 и да групирате подобните членове.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x\left(x+2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -5x по x+2.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x^{2}-10x$$

Добавете 5x^{2} от двете страни.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1+5x^{2}=-10x$$

Групирайте 16x^{2} и 5x^{2}, за да получите 21x^{2}.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1=-10x$$

Добавете 10x от двете страни.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1+10x=0$$

Преобразувайте уравнението в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 1, а q разделя водещия коефициент 4. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1 на x+1, за да получите 4x^{3}+12x^{2}+9x+1. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$4x^{3}+12x^{2}+9x+1=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 1, а q разделя водещия коефициент 4. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 4x^{3}+12x^{2}+9x+1 на x+1, за да получите 4x^{2}+8x+1. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$4x^{2}+8x+1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 4 за a, 8 за b и 1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{3}}{8}$$

Решете уравнението 4x^{2}+8x+1=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-1 x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$