Решете 4(x^2+1)(2x^2+1)=5(x^2-1)^2

$$4 ( x ^ { 2 } + 1 ) ( 2 x ^ { 2 } + 1 ) = 5 ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 }$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx 2,716341211i$$

$$x=-\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx -0-2,716341211i$$

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по x^{2}+1.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4x^{2}+4 по 2x^{2}+1 и да групирате подобните членове.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

За да повдигнете едно число, повдигнато на степен, на друга степен, умножете експонентите. Умножете 2 по 2, за да получите 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5 по x^{4}-2x^{2}+1.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Извадете 5x^{4} и от двете страни.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Групирайте 8x^{4} и -5x^{4}, за да получите 3x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Добавете 10x^{2} от двете страни.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Групирайте 12x^{2} и 10x^{2}, за да получите 22x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Извадете 5 и от двете страни.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Извадете 5 от 4, за да получите -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Заместете x^{2} с t.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 3 за a, 22 за b и -1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Извършете изчисленията.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Решете уравнението t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

Тъй като x=t^{2}, решенията са получени чрез оценяване на x=±\sqrt{t} за всеки t.

$$x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}} x=i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}}$$

Решаване за x

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по x^{2}+1.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4x^{2}+4 по 2x^{2}+1 и да групирате подобните членове.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

За да повдигнете едно число, повдигнато на степен, на друга степен, умножете експонентите. Умножете 2 по 2, за да получите 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5 по x^{4}-2x^{2}+1.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Извадете 5x^{4} и от двете страни.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Групирайте 8x^{4} и -5x^{4}, за да получите 3x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Добавете 10x^{2} от двете страни.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Групирайте 12x^{2} и 10x^{2}, за да получите 22x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Извадете 5 и от двете страни.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Извадете 5 от 4, за да получите -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Заместете x^{2} с t.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 3 за a, 22 за b и -1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Извършете изчисленията.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Решете уравнението t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

Тъй като x=t^{2}, решенията се получават чрез оценяване на x=±\sqrt{t} за позитивни t.

$$x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}}$$