Решете 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Решаване за x

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Извадете 169 от 4, за да получите -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 4x^{2}+ax+bx-165. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -660 на продукта.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

Решението е двойката, която дава сума 8.

$$a=-22 b=30$$

Напишете 4x^{2}+8x-165 като \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

Фактор, 2x в първата и 15 във втората група.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Разложете на множители общия член 2x-11, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 2x-11=0 и 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Извадете 169 от 4, за да получите -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 4 вместо a, 8 вместо b и -165 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Повдигане на квадрат на 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Умножете -4 по 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Умножете -16 по -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Съберете 64 с 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Получете корен квадратен от 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Умножете 2 по 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-8±52}{8}, когато ± е плюс. Съберете -8 с 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

Намаляване на дробта \frac{44}{8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-8±52}{8}, когато ± е минус. Извадете 52 от -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

Намаляване на дробта \frac{-60}{8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Извадете 169 от 4, за да получите -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Добавете 165 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$4x^{2}+8x=165$$

Разделете двете страни на 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

Делението на 4 отменя умножението по 4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Разделете 8 на 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Разделете 2 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите 1. След това съберете квадрата на 1 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

Повдигане на квадрат на 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Съберете \frac{165}{4} с 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Разложете на множител x^{2}+2x+1. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Опростявайте.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Извадете 1 и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$