Решете 4(2x-13)^2-9(2x-13)+2=0

$$4 ( 2 x - 13 ) ^ { 2 } - 9 ( 2 x - 13 ) + 2 = 0$$

Решаване за x

$$x = \frac{53}{8} = 6\frac{5}{8} = 6,625$$

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7,5$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-13\right)^{2}.

$$4\left(4x^{2}-52x+169\right)-9\left(2x-13\right)+2=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по 4x^{2}-52x+169.

$$16x^{2}-208x+676-9\left(2x-13\right)+2=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -9 по 2x-13.

$$16x^{2}-208x+676-18x+117+2=0$$

Групирайте -208x и -18x, за да получите -226x.

$$16x^{2}-226x+676+117+2=0$$

Съберете 676 и 117, за да се получи 793.

$$16x^{2}-226x+793+2=0$$

Съберете 793 и 2, за да се получи 795.

$$16x^{2}-226x+795=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 16 вместо a, -226 вместо b и 795 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{\left(-226\right)^{2}-4\times 16\times 795}}{2\times 16}$$

Повдигане на квадрат на -226.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-4\times 16\times 795}}{2\times 16}$$

Умножете -4 по 16.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-64\times 795}}{2\times 16}$$

Умножете -64 по 795.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-50880}}{2\times 16}$$

Съберете 51076 с -50880.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{196}}{2\times 16}$$

Получете корен квадратен от 196.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±14}{2\times 16}$$

Противоположното на -226 е 226.

$$x=\frac{226±14}{2\times 16}$$

Умножете 2 по 16.

$$x=\frac{226±14}{32}$$

Сега решете уравнението x=\frac{226±14}{32}, когато ± е плюс. Съберете 226 с 14.

$$x=\frac{240}{32}$$

Намаляване на дробта \frac{240}{32} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 16.

$$x=\frac{15}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{226±14}{32}, когато ± е минус. Извадете 14 от 226.

$$x=\frac{212}{32}$$

Намаляване на дробта \frac{212}{32} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=\frac{53}{8}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{53}{8}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-13\right)^{2}.

$$4\left(4x^{2}-52x+169\right)-9\left(2x-13\right)+2=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по 4x^{2}-52x+169.

$$16x^{2}-208x+676-9\left(2x-13\right)+2=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -9 по 2x-13.

$$16x^{2}-208x+676-18x+117+2=0$$

Групирайте -208x и -18x, за да получите -226x.

$$16x^{2}-226x+676+117+2=0$$

Съберете 676 и 117, за да се получи 793.

$$16x^{2}-226x+793+2=0$$

Съберете 793 и 2, за да се получи 795.

$$16x^{2}-226x+795=0$$

Извадете 795 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$16x^{2}-226x=-795$$

Разделете двете страни на 16.

$$\frac{16x^{2}-226x}{16}=-\frac{795}{16}$$

Делението на 16 отменя умножението по 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{226}{16}\right)x=-\frac{795}{16}$$

Намаляване на дробта \frac{-226}{16} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x=-\frac{795}{16}$$

Разделете -\frac{113}{8} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{113}{16}. След това съберете квадрата на -\frac{113}{16} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\left(-\frac{113}{16}\right)^{2}=-\frac{795}{16}+\left(-\frac{113}{16}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{113}{16}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256}=-\frac{795}{16}+\frac{12769}{256}$$

Съберете -\frac{795}{16} и \frac{12769}{256}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256}=\frac{49}{256}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{113}{16}\right)^{2}=\frac{49}{256}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{113}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{256}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{113}{16}=\frac{7}{16} x-\frac{113}{16}=-\frac{7}{16}$$

Съберете \frac{113}{16} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{53}{8}$$