Решете 4x^2-11x+7

$$4 { x }^{ 2 } -11x+7$$

Разлагане на множители

$$\left(x-1\right)\left(4x-7\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 4x^{2}+ax+bx+7. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-11 ab=4\times 7=28$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 28 на продукта.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Решението е двойката, която дава сума -11.

$$a=-7 b=-4$$

Напишете 4x^{2}-11x+7 като \left(4x^{2}-7x\right)+\left(-4x+7\right).

$$\left(4x^{2}-7x\right)+\left(-4x+7\right)$$

Фактор, x в първата и -1 във втората група.

$$x\left(4x-7\right)-\left(4x-7\right)$$

Разложете на множители общия член 4x-7, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(4x-7\right)\left(x-1\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-11x+7=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Повдигане на квадрат на -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Умножете -4 по 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 7}}{2\times 4}$$

Умножете -16 по 7.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2\times 4}$$

Съберете 121 с -112.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Получете корен квадратен от 9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2\times 4}$$

Противоположното на -11 е 11.

$$x=\frac{11±3}{2\times 4}$$

Умножете 2 по 4.

$$x=\frac{11±3}{8}$$

Сега решете уравнението x=\frac{11±3}{8}, когато ± е плюс. Съберете 11 с 3.

$$x=\frac{14}{8}$$

Намаляване на дробта \frac{14}{8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{7}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{11±3}{8}, когато ± е минус. Извадете 3 от 11.

$$x=\frac{8}{8}$$

Разделете 8 на 8.

$$x=1$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{7}{4} и x_{2} с 1.

$$4x^{2}-11x+7=4\left(x-\frac{7}{4}\right)\left(x-1\right)$$

Извадете \frac{7}{4} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$4x^{2}-11x+7=4\times \frac{4x-7}{4}\left(x-1\right)$$

Съкратете най-големия общ множител 4 в 4 и 4.

$$4x^{2}-11x+7=\left(4x-7\right)\left(x-1\right)$$

Изчисляване

$$\left(x-1\right)\left(4x-7\right)$$