Решете 3x+3=x^2+4x+5

$$3x+3= { x }^{ 2 } +4x+5$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}\approx -0,5-1,322875656i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}\approx -0,5+1,322875656i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$3x+3-x^{2}=4x+5$$

Извадете 4x и от двете страни.

$$3x+3-x^{2}-4x=5$$

Групирайте 3x и -4x, за да получите -x.

$$-x+3-x^{2}=5$$

Извадете 5 и от двете страни.

$$-x+3-x^{2}-5=0$$

Извадете 5 от 3, за да получите -2.

$$-x-2-x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-x^{2}-x-2=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, -1 вместо b и -2 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 1 с -8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-7}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от -7.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Противоположното на -1 е 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2}, когато ± е плюс. Съберете 1 с i\sqrt{7}.

$$x=\frac{1+\sqrt{7}i}{-2}$$

Разделете 1+i\sqrt{7} на -2.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2}, когато ± е минус. Извадете i\sqrt{7} от 1.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+1}{-2}$$

Разделете 1-i\sqrt{7} на -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$3x+3-x^{2}=4x+5$$

Извадете 4x и от двете страни.

$$3x+3-x^{2}-4x=5$$

Групирайте 3x и -4x, за да получите -x.

$$-x+3-x^{2}=5$$

Извадете 3 и от двете страни.

$$-x-x^{2}=5-3$$

Извадете 3 от 5, за да получите 2.

$$-x-x^{2}=2$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-x=2$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{2}{-1}$$

Разделете -1 на -1.

$$x^{2}+x=\frac{2}{-1}$$

Разделете 2 на -1.

$$x^{2}+x=-2$$

Разделете 1 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{1}{2}. След това съберете квадрата на \frac{1}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{1}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2+\frac{1}{4}$$

Съберете -2 с \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$$

Разложете на множител x^{2}+x+\frac{1}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

Извадете \frac{1}{2} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$