Решете 3x=2sqrt{(x+16)(2x-15)}

$$3x = 2 \sqrt{ (x+16)(2x-15) }$$

Решаване за x

$$x=48$$

$$x=20$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(3x\right)^{2}=\left(2\sqrt{\left(x+16\right)\left(2x-15\right)}\right)^{2}$$

Разложете \left(3x\right)^{2}.

$$3^{2}x^{2}=\left(2\sqrt{\left(x+16\right)\left(2x-15\right)}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 3 и получавате 9.

$$9x^{2}=\left(2\sqrt{\left(x+16\right)\left(2x-15\right)}\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+16 по 2x-15 и да групирате подобните членове.

$$9x^{2}=\left(2\sqrt{2x^{2}+17x-240}\right)^{2}$$

Разложете \left(2\sqrt{2x^{2}+17x-240}\right)^{2}.

$$9x^{2}=2^{2}\left(\sqrt{2x^{2}+17x-240}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 2 и получавате 4.

$$9x^{2}=4\left(\sqrt{2x^{2}+17x-240}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{2x^{2}+17x-240} и получавате 2x^{2}+17x-240.

$$9x^{2}=4\left(2x^{2}+17x-240\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по 2x^{2}+17x-240.

$$9x^{2}=8x^{2}+68x-960$$

Извадете 8x^{2} и от двете страни.

$$9x^{2}-8x^{2}=68x-960$$

Групирайте 9x^{2} и -8x^{2}, за да получите x^{2}.

$$x^{2}=68x-960$$

Извадете 68x и от двете страни.

$$x^{2}-68x=-960$$

Добавете 960 от двете страни.

$$x^{2}-68x+960=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът x^{2}-68x+960 с помощта на формула x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-68 ab=960$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 960 на продукта.

$$-1,-960 -2,-480 -3,-320 -4,-240 -5,-192 -6,-160 -8,-120 -10,-96 -12,-80 -15,-64 -16,-60 -20,-48 -24,-40 -30,-32$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-960=-961 -2-480=-482 -3-320=-323 -4-240=-244 -5-192=-197 -6-160=-166 -8-120=-128 -10-96=-106 -12-80=-92 -15-64=-79 -16-60=-76 -20-48=-68 -24-40=-64 -30-32=-62$$

Решението е двойката, която дава сума -68.

$$a=-48 b=-20$$

Пренапишете разложения на множители израз \left(x+a\right)\left(x+b\right) с помощта на получените стойности.

$$\left(x-48\right)\left(x-20\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-48=0 и x-20=0.

$$x=48 x=20$$

Заместете 48 вместо x в уравнението 3x=2\sqrt{\left(x+16\right)\left(2x-15\right)}.

$$3\times 48=2\sqrt{\left(48+16\right)\left(2\times 48-15\right)}$$

Опростявайте. Стойността x=48 отговаря на уравнението.

$$144=144$$

Заместете 20 вместо x в уравнението 3x=2\sqrt{\left(x+16\right)\left(2x-15\right)}.

$$3\times 20=2\sqrt{\left(20+16\right)\left(2\times 20-15\right)}$$

Опростявайте. Стойността x=20 отговаря на уравнението.

$$60=60$$

Изброяване на всички решения на 3x=2\sqrt{\left(2x-15\right)\left(x+16\right)}.

$$x=48 x=20$$