Решете 3x=sqrt{x^2+6}-4

$$3x = \sqrt{ { x }^{ 2 } +6 } -4$$

Решаване за x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Стъпки на решението

Извадете -4 и от двете страни на уравнението.

$$3x+4=\sqrt{x^{2}+6}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(3x+4\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}+6}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(3x+4\right)^{2}.

$$9x^{2}+24x+16=\left(\sqrt{x^{2}+6}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x^{2}+6} и получавате x^{2}+6.

$$9x^{2}+24x+16=x^{2}+6$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$9x^{2}+24x+16-x^{2}=6$$

Групирайте 9x^{2} и -x^{2}, за да получите 8x^{2}.

$$8x^{2}+24x+16=6$$

Извадете 6 и от двете страни.

$$8x^{2}+24x+16-6=0$$

Извадете 6 от 16, за да получите 10.

$$8x^{2}+24x+10=0$$

Разделете двете страни на 2.

$$4x^{2}+12x+5=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 4x^{2}+ax+bx+5. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=12 ab=4\times 5=20$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 20 на продукта.

$$1,20 2,10 4,5$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Решението е двойката, която дава сума 12.

$$a=2 b=10$$

Напишете 4x^{2}+12x+5 като \left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right)$$

Фактор, 2x в първата и 5 във втората група.

$$2x\left(2x+1\right)+5\left(2x+1\right)$$

Разложете на множители общия член 2x+1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 2x+1=0 и 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Заместете -\frac{1}{2} вместо x в уравнението 3x=\sqrt{x^{2}+6}-4.

$$3\left(-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+6}-4$$

Опростявайте. Стойността x=-\frac{1}{2} отговаря на уравнението.

$$-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$$

Заместете -\frac{5}{2} вместо x в уравнението 3x=\sqrt{x^{2}+6}-4.

$$3\left(-\frac{5}{2}\right)=\sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}+6}-4$$

Опростявайте. Стойността x=-\frac{5}{2} не отговаря на уравнението.

$$-\frac{15}{2}=-\frac{1}{2}$$

Уравнението 3x+4=\sqrt{x^{2}+6} има уникално решение.

$$x=-\frac{1}{2}$$