Решете 35x^2+16x-12

$$35 x ^ { 2 } + 16 x - 12$$

Разлагане на множители

$$\left(5x-2\right)\left(7x+6\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 35x^{2}+ax+bx-12. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=16 ab=35\left(-12\right)=-420$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -420 на продукта.

$$-1,420 -2,210 -3,140 -4,105 -5,84 -6,70 -7,60 -10,42 -12,35 -14,30 -15,28 -20,21$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+420=419 -2+210=208 -3+140=137 -4+105=101 -5+84=79 -6+70=64 -7+60=53 -10+42=32 -12+35=23 -14+30=16 -15+28=13 -20+21=1$$

Решението е двойката, която дава сума 16.

$$a=-14 b=30$$

Напишете 35x^{2}+16x-12 като \left(35x^{2}-14x\right)+\left(30x-12\right).

$$\left(35x^{2}-14x\right)+\left(30x-12\right)$$

Фактор, 7x в първата и 6 във втората група.

$$7x\left(5x-2\right)+6\left(5x-2\right)$$

Разложете на множители общия член 5x-2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(5x-2\right)\left(7x+6\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$35x^{2}+16x-12=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 35\left(-12\right)}}{2\times 35}$$

Повдигане на квадрат на 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 35\left(-12\right)}}{2\times 35}$$

Умножете -4 по 35.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-140\left(-12\right)}}{2\times 35}$$

Умножете -140 по -12.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+1680}}{2\times 35}$$

Съберете 256 с 1680.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1936}}{2\times 35}$$

Получете корен квадратен от 1936.

$$x=\frac{-16±44}{2\times 35}$$

Умножете 2 по 35.

$$x=\frac{-16±44}{70}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-16±44}{70}, когато ± е плюс. Съберете -16 с 44.

$$x=\frac{28}{70}$$

Намаляване на дробта \frac{28}{70} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 14.

$$x=\frac{2}{5}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-16±44}{70}, когато ± е минус. Извадете 44 от -16.

$$x=-\frac{60}{70}$$

Намаляване на дробта \frac{-60}{70} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 10.

$$x=-\frac{6}{7}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{2}{5} и x_{2} с -\frac{6}{7}.

$$35x^{2}+16x-12=35\left(x-\frac{2}{5}\right)\left(x-\left(-\frac{6}{7}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$35x^{2}+16x-12=35\left(x-\frac{2}{5}\right)\left(x+\frac{6}{7}\right)$$

Извадете \frac{2}{5} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$35x^{2}+16x-12=35\times \frac{5x-2}{5}\left(x+\frac{6}{7}\right)$$

Съберете \frac{6}{7} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$35x^{2}+16x-12=35\times \frac{5x-2}{5}\times \frac{7x+6}{7}$$

Умножете \frac{5x-2}{5} по \frac{7x+6}{7}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$35x^{2}+16x-12=35\times \frac{\left(5x-2\right)\left(7x+6\right)}{5\times 7}$$

Умножете 5 по 7.

$$35x^{2}+16x-12=35\times \frac{\left(5x-2\right)\left(7x+6\right)}{35}$$

Съкратете най-големия общ множител 35 в 35 и 35.

$$35x^{2}+16x-12=\left(5x-2\right)\left(7x+6\right)$$

Изчисляване

$$\left(5x-2\right)\left(7x+6\right)$$