Решете 32x^2+250x-1925=0

$$32 { x }^{ 2 } +250x-1925=0$$

Решаване за x

$$x = \frac{5 \sqrt{3089} - 125}{32} \approx 4,77793327$$

$$x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}\approx -12,59043327$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$32x^{2}+250x-1925=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 32 вместо a, 250 вместо b и -1925 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 32\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Повдигане на квадрат на 250.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 32\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Умножете -4 по 32.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-128\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Умножете -128 по -1925.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+246400}}{2\times 32}$$

Съберете 62500 с 246400.

$$x=\frac{-250±\sqrt{308900}}{2\times 32}$$

Получете корен квадратен от 308900.

$$x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{2\times 32}$$

Умножете 2 по 32.

$$x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64}, когато ± е плюс. Съберете -250 с 10\sqrt{3089}.

$$x=\frac{10\sqrt{3089}-250}{64}$$

Разделете -250+10\sqrt{3089} на 64.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64}, когато ± е минус. Извадете 10\sqrt{3089} от -250.

$$x=\frac{-10\sqrt{3089}-250}{64}$$

Разделете -250-10\sqrt{3089} на 64.

$$x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32} x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$32x^{2}+250x-1925=0$$

Съберете 1925 към двете страни на уравнението.

$$32x^{2}+250x-1925-\left(-1925\right)=-\left(-1925\right)$$

Изваждане на -1925 от самото него дава 0.

$$32x^{2}+250x=-\left(-1925\right)$$

Извадете -1925 от 0.

$$32x^{2}+250x=1925$$

Разделете двете страни на 32.

$$\frac{32x^{2}+250x}{32}=\frac{1925}{32}$$

Делението на 32 отменя умножението по 32.

$$x^{2}+\frac{250}{32}x=\frac{1925}{32}$$

Намаляване на дробта \frac{250}{32} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x=\frac{1925}{32}$$

Разделете \frac{125}{16} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{125}{32}. След това съберете квадрата на \frac{125}{32} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\left(\frac{125}{32}\right)^{2}=\frac{1925}{32}+\left(\frac{125}{32}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{125}{32}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}=\frac{1925}{32}+\frac{15625}{1024}$$

Съберете \frac{1925}{32} и \frac{15625}{1024}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}=\frac{77225}{1024}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{125}{32}\right)^{2}=\frac{77225}{1024}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{125}{32}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77225}{1024}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{125}{32}=\frac{5\sqrt{3089}}{32} x+\frac{125}{32}=-\frac{5\sqrt{3089}}{32}$$

Извадете \frac{125}{32} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32} x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$