Решете 30x+21x^2=3384

$$30 x + 21 x ^ { 2 } = 3384$$

Решаване за x

$$x = -\frac{94}{7} = -13\frac{3}{7} \approx -13,428571429$$

$$x=12$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Извадете 3384 и от двете страни.

$$30x+21x^{2}-3384=0$$

Разделете двете страни на 3.

$$10x+7x^{2}-1128=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$7x^{2}+10x-1128=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 7x^{2}+ax+bx-1128. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=10 ab=7\left(-1128\right)=-7896$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -7896 на продукта.

$$-1,7896 -2,3948 -3,2632 -4,1974 -6,1316 -7,1128 -8,987 -12,658 -14,564 -21,376 -24,329 -28,282 -42,188 -47,168 -56,141 -84,94$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+7896=7895 -2+3948=3946 -3+2632=2629 -4+1974=1970 -6+1316=1310 -7+1128=1121 -8+987=979 -12+658=646 -14+564=550 -21+376=355 -24+329=305 -28+282=254 -42+188=146 -47+168=121 -56+141=85 -84+94=10$$

Решението е двойката, която дава сума 10.

$$a=-84 b=94$$

Напишете 7x^{2}+10x-1128 като \left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right).

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)$$

Фактор, 7x в първата и 94 във втората група.

$$7x\left(x-12\right)+94\left(x-12\right)$$

Разложете на множители общия член x-12, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-12\right)\left(7x+94\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-12=0 и 7x+94=0.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Извадете 3384 и от двете страни на уравнението.

$$21x^{2}+30x-3384=3384-3384$$

Изваждане на 3384 от самото него дава 0.

$$21x^{2}+30x-3384=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 21 вместо a, 30 вместо b и -3384 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Повдигане на квадрат на 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Умножете -4 по 21.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-84\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Умножете -84 по -3384.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+284256}}{2\times 21}$$

Съберете 900 с 284256.

$$x=\frac{-30±\sqrt{285156}}{2\times 21}$$

Получете корен квадратен от 285156.

$$x=\frac{-30±534}{2\times 21}$$

Умножете 2 по 21.

$$x=\frac{-30±534}{42}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-30±534}{42}, когато ± е плюс. Съберете -30 с 534.

$$x=\frac{504}{42}$$

Разделете 504 на 42.

$$x=12$$

Сега решете уравнението x=\frac{-30±534}{42}, когато ± е минус. Извадете 534 от -30.

$$x=-\frac{564}{42}$$

Намаляване на дробта \frac{-564}{42} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$x=-\frac{94}{7}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Разделете двете страни на 21.

$$\frac{21x^{2}+30x}{21}=\frac{3384}{21}$$

Делението на 21 отменя умножението по 21.

$$x^{2}+\frac{30}{21}x=\frac{3384}{21}$$

Намаляване на дробта \frac{30}{21} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{3384}{21}$$

Намаляване на дробта \frac{3384}{21} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{1128}{7}$$

Разделете \frac{10}{7} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{5}{7}. След това съберете квадрата на \frac{5}{7} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1128}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{5}{7}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1128}{7}+\frac{25}{49}$$

Съберете \frac{1128}{7} и \frac{25}{49}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7921}{49}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7921}{49}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{49}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{5}{7}=\frac{89}{7} x+\frac{5}{7}=-\frac{89}{7}$$

Извадете \frac{5}{7} и от двете страни на уравнението.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$