Решете 30t=225(t+10)^2

$$30 t = 225 ( t + 10 ) ^ { 2 }$$

Решаване за t

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}\approx -9,933333333+1,152774431i$$

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}\approx -9,933333333-1,152774431i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 225 по t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Извадете 225t^{2} и от двете страни.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Извадете 4500t и от двете страни.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Групирайте 30t и -4500t, за да получите -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Извадете 22500 и от двете страни.

$$-4470t-225t^{2}-22500=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-225t^{2}-4470t-22500=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -225 вместо a, -4470 вместо b и -22500 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{\left(-4470\right)^{2}-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Повдигане на квадрат на -4470.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Умножете -4 по -225.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900+900\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Умножете 900 по -22500.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-20250000}}{2\left(-225\right)}$$

Съберете 19980900 с -20250000.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{-269100}}{2\left(-225\right)}$$

Получете корен квадратен от -269100.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Противоположното на -4470 е 4470.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Умножете 2 по -225.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}$$

Сега решете уравнението t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}, когато ± е плюс. Съберете 4470 с 30i\sqrt{299}.

$$t=\frac{4470+30\sqrt{299}i}{-450}$$

Разделете 4470+30i\sqrt{299} на -450.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$

Сега решете уравнението t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}, когато ± е минус. Извадете 30i\sqrt{299} от 4470.

$$t=\frac{-30\sqrt{299}i+4470}{-450}$$

Разделете 4470-30i\sqrt{299} на -450.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Уравнението сега е решено.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15} t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 225 по t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Извадете 225t^{2} и от двете страни.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Извадете 4500t и от двете страни.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Групирайте 30t и -4500t, за да получите -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-225t^{2}-4470t=22500$$

Разделете двете страни на -225.

$$\frac{-225t^{2}-4470t}{-225}=\frac{22500}{-225}$$

Делението на -225 отменя умножението по -225.

$$t^{2}+\left(-\frac{4470}{-225}\right)t=\frac{22500}{-225}$$

Намаляване на дробта \frac{-4470}{-225} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 15.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=\frac{22500}{-225}$$

Разделете 22500 на -225.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=-100$$

Разделете \frac{298}{15} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{149}{15}. След това съберете квадрата на \frac{149}{15} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}=-100+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{149}{15}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-100+\frac{22201}{225}$$

Съберете -100 с \frac{22201}{225}.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-\frac{299}{225}$$

Разложете на множител t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}=-\frac{299}{225}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{299}{225}}$$

Опростявайте.

$$t+\frac{149}{15}=\frac{\sqrt{299}i}{15} t+\frac{149}{15}=-\frac{\sqrt{299}i}{15}$$

Извадете \frac{149}{15} и от двете страни на уравнението.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15} t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$