Решете 30x^3+109x^2=196

$$30 { x }^{ 3 } +109 { x }^{ 2 } =196$$

Решаване за x

$$x = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1,166666667$$

$$x=-2$$

$$x = -\frac{14}{5} = -2\frac{4}{5} = -2,8$$

Стъпки на решението

Извадете 196 и от двете страни.

$$30x^{3}+109x^{2}-196=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -196, а q разделя водещия коефициент 30. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{98}{15},±\frac{196}{15},±\frac{98}{5},±\frac{98}{3},±\frac{196}{5},±\frac{196}{3},±98,±196,±\frac{49}{15},±\frac{49}{5},±\frac{49}{3},±49,±\frac{49}{30},±\frac{49}{10},±\frac{49}{6},±\frac{49}{2},±\frac{14}{15},±\frac{28}{15},±\frac{14}{5},±\frac{14}{3},±\frac{28}{5},±\frac{28}{3},±14,±28,±\frac{7}{15},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{7}{30},±\frac{7}{10},±\frac{7}{6},±\frac{7}{2},±\frac{2}{15},±\frac{4}{15},±\frac{2}{5},±\frac{2}{3},±\frac{4}{5},±\frac{4}{3},±2,±4,±\frac{1}{15},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1,±\frac{1}{30},±\frac{1}{10},±\frac{1}{6},±\frac{1}{2}$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 30x^{3}+109x^{2}-196 на x+2, за да получите 30x^{2}+49x-98. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$30x^{2}+49x-98=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 30 за a, 49 за b и -98 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-49±\sqrt{49^{2}-4\times 30\left(-98\right)}}{2\times 30}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-49±119}{60}$$

Решете уравнението 30x^{2}+49x-98=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=-\frac{14}{5} x=\frac{7}{6}$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-2 x=-\frac{14}{5} x=\frac{7}{6}$$