Решете 3z^2+14z-5

$$3 z ^ { 2 } + 14 z - 5$$

Разлагане на множители

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 3z^{2}+az+bz-5. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -15 на продукта.

$$-1,15 -3,5$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Решението е двойката, която дава сума 14.

$$a=-1 b=15$$

Напишете 3z^{2}+14z-5 като \left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right).

$$\left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right)$$

Фактор, z в първата и 5 във втората група.

$$z\left(3z-1\right)+5\left(3z-1\right)$$

Разложете на множители общия член 3z-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$3z^{2}+14z-5=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$z=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Повдигане на квадрат на 14.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -4 по 3.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -12 по -5.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196+60}}{2\times 3}$$

Съберете 196 с 60.

$$z=\frac{-14±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

Получете корен квадратен от 256.

$$z=\frac{-14±16}{2\times 3}$$

Умножете 2 по 3.

$$z=\frac{-14±16}{6}$$

Сега решете уравнението z=\frac{-14±16}{6}, когато ± е плюс. Съберете -14 с 16.

$$z=\frac{2}{6}$$

Намаляване на дробта \frac{2}{6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$z=\frac{1}{3}$$

Сега решете уравнението z=\frac{-14±16}{6}, когато ± е минус. Извадете 16 от -14.

$$z=-\frac{30}{6}$$

Разделете -30 на 6.

$$z=-5$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{1}{3} и x_{2} с -5.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z-\left(-5\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z+5\right)$$

Извадете \frac{1}{3} от z, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$3z^{2}+14z-5=3\times \frac{3z-1}{3}\left(z+5\right)$$

Съкратете най-големия общ множител 3 в 3 и 3.

$$3z^{2}+14z-5=\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Изчисляване

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$