Решете 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Решаване за x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$3x-5y=4$$

Съберете 5y към двете страни на уравнението.

$$3x=5y+4$$

Разделете двете страни на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Умножете \frac{1}{3} по 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Заместете \frac{5y+4}{3} вместо x в другото уравнение, 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Умножете 9 по \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Съберете 15y с -2y.

$$13y+12=7$$

Извадете 12 и от двете страни на уравнението.

$$13y=-5$$

Разделете двете страни на 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Заместете -\frac{5}{13} вместо y в x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Умножете \frac{5}{3} по -\frac{5}{13}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Съберете \frac{4}{3} и -\frac{25}{39}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x=\frac{9}{13}$$

Системата сега е решена.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

За да направите 3x и 9x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 9, а всички членове от двете страни на второто по 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Опростявайте.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Извадете 27x-6y=21 от 27x-45y=36, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Съберете 27x с -27x. Условията 27x и -27x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-45y+6y=36-21$$

Съберете -45y с 6y.

$$-39y=36-21$$

Съберете 36 с -21.

$$-39y=15$$

Разделете двете страни на -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Заместете -\frac{5}{13} вместо y в 9x-2y=7. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Умножете -2 по -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Извадете \frac{10}{13} и от двете страни на уравнението.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Разделете двете страни на 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

Системата сега е решена.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$